双曲线有对称中心吗（双曲线的双重对称性）

对于反比例函数y=k/x（k≠0），如果点P（a，b）是其图象上的点，则点Q（-a，-b）、R（b，a）也都是其图象上的点，而点P、Q关于坐标原点对称，点P、R关于直线y=x对称，所以反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形。

例（2019福建中考题）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝3/x（x＞0）的图象上，函数y＝k/x（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝ ．

分析：对双曲线的对称性大家知道比较多的是中心对称性，而本题考查的却是它的轴对称性——任何反比例函数图象都是关于象限角平分线对称的，因此由题意可知O、A、C三点共线，根据题意求得A的坐标，进而求得B或D的坐标问题可解。

解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，

∵函数y＝k/x（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，

∴O、A、C三点在同直线上，且∠COE＝45°，

∴OE＝AE，

设OE＝AE＝a，则A（a，a），

∵点A在在反比例函数y＝3/x（x＞0）的图象上，

∴a2＝3，a＝√3,

∴AE＝OE＝√3，

∵∠BAD＝30°，

∴∠OAF＝∠CAD＝1/2∠BAD＝15°，

∵∠OAE＝∠AOE＝45°，

∴∠EAF＝30°，

∴AF＝AE/cos30°=2，

EF＝AEtan30°＝1，

∵AB＝AD＝2，AE∥DG，

∴EF＝EG＝1，

DG＝2AE＝2√3，

∴OG＝OE EG＝√3 1，

∴点D的坐标为（√3 1，2√3），

所以k=6 2√3。