双曲线有对称中心吗(双曲线的双重对称性)

双曲线有对称中心吗(双曲线的双重对称性)(1)

对于反比例函数y=k/x(k≠0),如果点P(a,b)是其图象上的点,则点Q(-a,-b)、R(b,a)也都是其图象上的点,而点P、Q关于坐标原点对称,点P、R关于直线y=x对称,所以反比例函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形。

(2019福建中考题)如图,菱形ABCD顶点A在函数y=3/x(x>0)的图象上,函数y=k/x(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,且经过点B、D两点,若AB=2,∠BAD=30°,则k=

双曲线有对称中心吗(双曲线的双重对称性)(2)

分析:对双曲线的对称性大家知道比较多的是中心对称性,而本题考查的却是它的轴对称性——任何反比例函数图象都是关于象限角平分线对称的,因此由题意可知O、A、C三点共线,根据题意求得A的坐标,进而求得B或D的坐标问题可解。

:连接OC,AC过A作AE⊥x轴于点E,延长DA与x轴交于点F,过点D作DG⊥x轴于点G,

双曲线有对称中心吗(双曲线的双重对称性)(3)

∵函数y=k/x(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称,

∴O、A、C三点在同直线上,且∠COE=45°,

∴OE=AE,

设OE=AE=a,则A(a,a),

∵点A在在反比例函数y=3/x(x>0)的图象上,

∴a2=3,a=√3,

∴AE=OE=√3,

∵∠BAD=30°,

∴∠OAF=∠CAD=1/2∠BAD=15°,

∵∠OAE=∠AOE=45°,

∴∠EAF=30°,

∴AF=AE/cos30°=2,

EF=AEtan30°=1,

∵AB=AD=2,AE∥DG,

∴EF=EG=1,

DG=2AE=2√3,

∴OG=OE EG=√3 1,

∴点D的坐标为(√3 1,2√3),

所以k=6 2√3。

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