数学找等量关系解方程练习（巧用四点共圆寻找等量关系）

巧用四点共圆寻找等量关系(2020年武汉第24题)

给你一个圆，在圆周上任意找四个点，容易之极；反过来，平面上任意四个点，是否在同一个圆上？就这比较麻烦了，我们的判断方法有多种，可以从定义出发，如果这四个点到某个点的距离相等，或者说这四个点围成的四边形对角互补，那么便能判断四点共圆。

共圆的好处是引入了新的图形——圆，于是在圆的相关性质加持下，解决问题就有了新的途径。

题目

将抛物线C:y=(x-2)²向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2.

(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式；

(2)如图1，点A在抛物线C1对称轴l右侧上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；

(3)如图2，直线y=kx(k≠0，k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点，直线y=-4x/k与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点，求证：直线MN经过一个定点.

解析：

(1)揪住顶点坐标再来看平移，是最简单的方法，C1为y=(x-2)²-6，C2为y=x²-6；

(2)请注意“以OB为斜边的直角三角形”，并联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，更进一步想到直角三角形一定存在一个外接圆，且圆心恰好就是斜边中点。

有以上基础，后面的问题便好解决了，如下图：

当点A在x轴上方时，对于Rt△OBD和Rt△OBA，斜边都是OB，于是它们的外接圆圆心都是OB中点，且直径也是OB，因此A，B，O，D四点共圆，过点A作AK⊥x轴；

共圆的好处就是角度转换可以利用圆周角相等了，∠AOB=∠ADB=45°，于是得到∠ADK=45°，发现△ADK也是等腰直角三角形，不妨设A(x,x²-4x-2)，则AK=DK=x²-4x-2，OK=x，得方程x-2=x²-4x-2，解得x=0或x=5，由于点A在对称轴x=2右侧，因此A(5,3)；

当点A在x轴下方时，如下图：

方法与前一种情况类似，只是在列方程的时候注意符号，x-2=-(x²-4x-2)，解得x=-1或x=4，由于点A在对称轴x=2右侧，因此A(4,-2)；

(3)抛物线解析式已知，直线解析式中含参数k，因此基本思路是将点坐标用含k的代数式表示出来，然后表示出直线MN的解析式，根据解析式的特点判断是否经过定点，如下图：

首先联立直线EF和抛物线C2，得出点E，F坐标，再利用中点公式得到点M坐标，类似的，得到点N坐标，再表示直线MN的解析式，推导如下：

从MN的解析式可以看出来，它经过定点(0,2).

解题反思

今年武汉地区受疫情影响严重，因此压轴题难度比去年有所降低，但作为选拔性考试，依然需要一定思维突破，而第2小题的难点就是想到利用四点共圆，从而得到等腰直角三角形，再利用它寻找数量关系；第3小题考察了学生对中点公式的理解和韦达定理的使用，对于含参二次函数，大胆设元，仔细推导才能顺利求解。

对于四点共圆，和我们通常所说的隐圆有异曲同工之妙，多数时候学生习惯于在全等和相似中找角的等量关系，而在圆中，则要习惯于看圆周角所对的弧，只有心中有圆，才能体会其中的妙处，这对平时课堂教学也提出更高要求，毕竟学生这些能力的培养，都要通过一节节扎实高效的数学课堂来实现。

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