高中数学二项式定理例题及答案（二项式定理的三类题型）

二项式定理题型多为选择题、填空题，偶尔也会渗透于大题之中，即以运算工具或求值工具的方式出现于大题的某一步或某几步。

一、利用“赋值法”求部分项系数、二项式系数和

例1 若

，则

的值为_________。

分析：某些以特殊方式出现的二项式系数的和都是与二项式中的变量取某一特殊值相关的，所以由二项式展开式求某些二项式系数的和时，要注意观察二项式中的变量取哪个（或哪些特殊值），方可得到所需二项式系数的和。

解：。

令

，则

。

令

，则

。

故原式

。

小结：在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言，1、-1、0等特殊值在解题过程中应用得比较多。

例2 设

，则

______。

分析：解题过程分两步走：第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求化简后的代数式的值。

解：∵

，

∴

。

二、利用二项式定理求近似值

例3 求

的近似值，使误差小于0.001。

分析：因为

，故可以用二项式定理展开计算。

解：

。

∴

。

且第3项以后的绝对值都小于

，从第3项起，以后的项都可以忽略不计。

∴

。

小结：由

，当x的绝对值与1相比很小，且n很大时，

、

、…、

等项的绝对值都很小，在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：

，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：

。

三、利用二项式定理证明整除问题

例4 求证：

能被7整除。

证明：

。

又

。

∴

，

∴能被7整除。

小结：在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数。

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▍ 编辑：Wordwuli

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