初三数学复习的一些思路和建议（想在暑假着手复习数学）

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2019年广东省初中学业水平考试（以下简称为“2019年广东中考”）在6月22日落下帷幕，数学试卷也已经出炉。

纵观整张试卷，本次考试的题型、题量、考试时间与近几年保持一致。其中试卷分值120分，考试时间为100分钟，共25题，题型分为选择题、填空题、解答题（一）、解答题（二）、解答题（三）。

全卷的考查知识点覆盖面广，整体难易程度适中，侧重基础知识、基本技能的掌握与灵活运用。卷面比较传统，但也有一定的创新。大多数题目比较基础，但是部分题目对学生计算能力和思维能力的考查较高，如10，16，22，23，24，25。全卷基础题和综合题的区分比较明显，很好的体现了中考作为升学和选拔的双重功能。

从《2019年广东省初中毕业生数学学科学业考试大纲》（以下简称为“2019年广东中考考纲”）中可看出，2019年广东中考数学试卷考查的内容，分为数与代数、空间与图形、以及统计与概率三大模块。下面我们对“数与代数”这一模块进行分析，力求为2020年的中考备考复习提出建设性意见。

1.“数与代数”的地位

2019年广东中考考纲中的“考试要求”，提出了试卷内容的大致比例，其中，代数约占60分，几何约占50分，统计与概率约占10分。从2019年广东中考数学试卷看，各模块的分布基本符合最新考纲的大致要求，命题合理严谨，考查得当。

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从考查的比例也可以看出，“数与代数”和“空间与图形”两个模块一共占了90%，而且这两个模块的比例旗鼓相当，是2019年广东中考数学试卷的核心组成部分，而“数与代数”更要略胜一筹。

2.“数与代数”的复习

2.1 关注高频考点

从2019年广东中考数学试卷的题型看，命题人为我们展现了“乾坤大挪移”：数的简单运算的考查，以往是固定在第17题的解答题（一），但今年放到了填空题第11题；求阴影部分面积的考查，以往通常会在填空题，但今年被搬到了解答题（二）；解直角三角形的应用近年来单独考查比较少，即使考查也会出现在解答题（二），但今年出现在了第15题的位置；第22题涉及阴影部分面积及勾股定理的考查，与以往对于四边形综合的考查相比，加了网格后更容易入手和得分，但是综合性也更强，多次应用勾股定理公式也考查学生的计算能力是否过硬。

题目的考查方式发生了大改变，这意味着，在中考备考复习中，如果单纯地进行题型训练，开展题海战术，学生很容易造成思维定式，从而降低对中考数学题目变化的适应能力。比如解一元二次方程x²-2x＝0，不少学生在做解答题时，会很快得出正确的结果，但如果是填空题，有的学生就会只得出“x=2”，忽略掉“x=0”的结果。

更好的选择，就是在中考备考复习中，把目光聚焦学生对知识点的积累。题目的考查，终究要回归到知识点的运用，考查形式可以改变，但知识点的数量和运用比较稳定。近两年中考考纲的变化中，考试内容只是新增1处，删除1处，变化4处，几乎没什么变动。

2019年广东中考考纲中的“考试内容”部分，对“数与代数”模中有待考察的知识点，做了详细地列举说明。为此，我们可以从其中的高频考点切入，开展这一模块的复习。因为高频考点是中考试题中高频率现题的知识点，也是中考备考的核心考点。高频考点直接锁定中考的设题思路和发展轨迹，瞄准中考试题考察的重点、难点、疑点、易错点，这对我们的中考备考能起到事半功倍的作用。

2.1.1参考考纲对试卷结构的说明

2019年广东中考考纲中的“考试方式和试卷结构”部分，对选择题、填空题和解答题（三）做了简单介绍，但是对解答题（一）（二）的结构做了较详细的说明。

解答题（一）（二）包括：计算题[在下列四种形式中任选：数值计算、代数式运算、解方程（组）、解不等式（组）；计算综合题[在下列四种形式中任选：代数计算综合题、几何计算综合题、统计概率计算综合题；证明题（在下列两种形式中任选：几何证明、简单代数证明）；简单应用题[包括实际应用和非实际应用．在下列三种形式中任选：方程（组）应用题、不等式应用题、解三角形应用题、函数应用题；作图题仅限尺规作图。

从说明看出，“数与代数”模块体现在解答题中的高频考点，可以分为三大部分。第一部分是数与式的运算，包括数值计算、代数式运算、以及代数计算综合；第二部分是方程（组）和不等式（组）的解法和应用，包括一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、以及一元一次不等式（组）；第三部分是函数的性质应用，包括一次函数、反比例函数、以及二次函数。

2.1.2 参考历年对高频考点的统计

从近7年的广东中考数学试卷考点分析看，“数与代数”模块体现在选择题和填空题中的高频考点，除了包含解答题中的高频考点，还包括两大部分。一部分是数与式的处理，比如数轴的使用，“相绝倒平算立”（相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根）的处理，实数的分类与大小比较，科学记数法，幂的运算，因式分解，等等；另一部分是数量关系的处理，比如根据题意列出方程（组）或不等式（组），通过列不等式（组）求取值范围，通过列方程（组）求某个数，找规律，等等。

近7年，“数与代数”模块在解答题（三）的体现，都集中在函数的综合运用上，所涉及的高频考点，主要包括：待定系数法求函数解析式，比如一次函数、反比例函数和二次函数；通过函数图像，直接判断自变量的取值范围；求某个点的坐标，比如与坐标轴的交点、函数图像的交点、图像的顶点等等；通过点的坐标与线段长度的相互切换，结合对称、平移和旋转等变换，实现代数与几何的综合运用。

2.2 关注解题能力

锁定了高频考点，下一步要关注的，就是学生的解题能力，即运用所学知识点解决数学问题的能力。

2.2.1 巩固基础能力

通过对高频考点的分析可知，“数与代数”模块要求学生掌握三类基础能力：数与式的运算，包括数值的混合运算和代数式的化简求值；方程（组）与不等式（组）的解法，包括一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、以及一元一次不等式（组）；函数的基本处理，包括待定系数法求解析式，求点的坐标、看图像判断自变量的取值范围、点的坐标与线段长度的切换。巩固这些基础能力的思路，就是逐个攻破。

① 检测学情，找到难点

选定一项基础能力，我们可以设计一个题组练习，利用课堂小测的形式，检测学生的掌握情况。比如要复习代数式的化简求值，可以设计如下题组：

根据学生的完成情况，我们可以从中找到学生的难点。比如，有的学生因式分解不过关，有的学生不会通分和约分，有的学生混淆运算顺序，有的学生不会分母有理化。找到了难点，我们就能帮助学生有针对性地复习突破。

② 建立联系，突破难点

每一项基础能力的掌握，都需要前置知识点的支撑。学生之所以存在难点，是因为某个前置知识点没过关，导致在运用的过程中卡壳。而每个前置知识点的背后，又有相应的前置知识点，这就要求我们回归教材，在每项基础能力背后前置知识点之间建立联系，帮助学生突破其中的难点。

比如代数式的化简求值，其前置知识点可分为五点：分式的乘除，包含因式分解和分式的约分；分式的加减，包含分式的通分；混合运算的顺序，即先乘方、再乘除、后加减；括号的处理，包含分配律的使用和整体思想；分母有理化，包含分母为单项式和分母为二项式的情况。针对学生存在困难的地方，我们需要回归课本，从最基本的概念起，帮助学生重新梳理思路，完善学生对数学的认知结构。

2.2.2 推进灵活运用

巩固基础能力之后，下一步就是推进学生对知识点的灵活运用。所谓知识的运用，就是当遇到问题时，设法从自己所拥有的知识存量中找到相关知识，对问题进行诠释解读，并试图找到答案，有时未必找得到现成答案，学生需要将搜寻所得的各种关系、信息、经验等加以整合，构思出来的解决办法在实施前及实施后还应该随时验证或反省其正确程度，除了力求决策正确之外，也希望对知识整合与运用的方法有所改进。

① 间隔检测，加深记忆

记忆是运用的前提，但记忆并不代表学生要死记硬背，在复习了知识点后，我们可以借助“有利的困难”，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。

加州大学洛杉矶分校的一对教授夫妻，Robert Bjork 和 Elizabeth Bjork，提出了一个非常漂亮的记忆力理论模型，这个理论指出，人的记忆有两个强度，存储强度和提取强度。其中，存储强度只增不减。学生主动记住的东西，比如一个定理或者一条公式，一旦进入记忆，就会永远待在那里，当学生再次见到它时，它的存储强度会增强，而它的存储强度不会减弱， 就算学生再也不见它。

那为什么学生做题时就想不起来呢？因为提取强度出了问题。如果没有复习，提取强度就随着时间慢慢减弱。 提取强度是越用越高的，每一次提取记忆，提取强度都会增加；而因为这个记忆在脑子里又过了一遍，所以存储强度也增加了。

最重要的是：提取的时候越困难，提取动作对两个强度的增加值就越大。也就是说，回想一个定理或公式越费劲，学生对它的记忆反而会更牢固。

因此，复习一个知识点，最有效率的方法就不是天天复习，也不是复完就不理了，而是故意放几天，等到提取强度慢慢变弱了，学生已经有点“忘记”了，再搞一次测验。这样不仅可以提高复习效率，而且还能通过遗忘过滤掉一些不必要的信息。

② 混合练习，强制运用

间隔的期间，我们可以继续推进其他知识点的复习，那么，在测验时，我们应该如何安排题目呢？答案是，把各种题型混合起来，题目的形式没见过更好，考查的知识点最好也是随机分布。

一方面，因为题目形式没见过，所以学生没办法套题型和套公式，只能求助于思考，思考效率由此得到提高。而提高的思考效率，既能带动学生解题效率的提高，又能提高学生对中考试题不确定的适应能力。

另一方面，因为考点随机分布，所以学生每做一道题都得临时判断该有哪些知识点，这对知识点的提取带来了一定的困难，但学生记忆的存储强度和提取强度也因此得到更大的增加值，有效地推进学生对知识点的学以致用。

可以看出，测验对于中考备考复习来说，是一个核心的组成部分。除了在课堂上安排题组练习，我们还可以安排课前小测、每周一测、以及个别学生的突击培辅，来确保实现适当的间隔，以及足够的测验机会。

结束语：从命题的趋势看，广东中考的考查稳重求变，命题有创新，题目位置有调整，基础题和难题保持较大的区分度。其中，第10题在动点函数题和几何综合题之间轮换的概率大；第16题在函数几何规律探索题、函数综合题、几何变换综合题之间轮换的概率大；第25题的综合性和分类讨论性更强，以四边形或二次函数为主背景都有可能，注重学生核心素养考查。因此我们在中考备考复习中，更要帮助学生夯实基础，然后再力争难题。

一到暑假，各种中考补习班和冲刺班就会扑面而来，琳琅满目的复习资料也让人应接不暇。可是，孩子最缺的是时间，方向不对，假期的复习常常只能吃力不讨好。我见过一个学生手里的补习班资料，里面的题目虽然很多，但也只是题目的堆砌，对该生的提高其实帮助不大。因此，无论是老师还是家长，都不能盲目听信某一个机构的说辞，盲目迷信某一套资料，我们应该回归问题的本质，相信思考的力量，才能让孩子少做无用功。

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