空间解析几何学习（一篇文章搞定空间解析几何）

一篇文章搞定空间解析几何

这一章节放在课本的第一章，显得较为容易，题型也较为单一。一般来说，这一章节的知识分为两个方面，一个是空间向量的运算，另一个是空间中的线和面。而且每一个都与高中的知识有很大的联系，算是其拓展与延伸，作为一个过渡而出现。下面我们简要的介绍一下:

一，空间向量的运算

（一），向量的投影运算

这里可以分为向量在向量上的投影，向量在平面上的投影。向量在向量上的投影就是向量的数量积。其满足常见的结合，交换，分配律，但是不满足消去律。

要记得投影是一个长度，所以向量的数量积是一个常数。我们把向量a在向量b上的投影记作Prjba,把两个向量之间的夹角记作尖括号<a,b>。而在平面上的投影怎么计算呢？很简单，先求出平面的一个法向量，而后求出向量末端的点距离平面的距离，而后勾股定理即可，求点到平面的距离下面会讲到。

（二），向量的数量积与混合积

数量积一个全新的定义，所得到的是一个全新的向量，而不是一个常数。那么作为一个向量，其必然会有大小和方向。我们把方向与长度规定如下：

（成右手系就是让右食指从a指向b的方向，然后与此时大拇指所指的方向成右手系）。

混合积是由三个向量的乘积引入的，定义形式如下：

数量积的数值代表了向量形成的平行四边形的面积，而混合积的数值代表了形成的平行六面体的体积大小。数量积不满足交换律，混合积满足轮换对称性，因为交换一次会变号，那么交换两次就可以变回来了。向量积满足分配律和结合律，可以放心展开。

说到这里就不得不提一下他们的坐标表示了

注意在这里的ijk都是单位向量的一部分。如果再向量均不为零的情况下，数量积等于零说明垂直，向量积等于零说明共线，混合积等于零说明共面。而且向量积还可以直接算出法向量。

二，空间中的线和面

（一），直线

直线有四种方程的表达，每一种都有其独特的性质和意义：

1. 直线的标准方程

(m,n,p)为直线的方向向量（x0,y0,z0）为直线上一点

2. 直线的参数方程

(m,n,p)为直线的方向向量（x0,y0,z0）为直线上一点

3. 直线的两点式方程

（x1,y1,z1），（x2,y2,z2）是直线上两个点

4. 直线的一般方程

这个是利用两个平面的交线来定义的

这种看不出什么特别的性质，所以我们要掌握互换的方法，从一般方程化为标准方程，只需要两式相消，先消去一个未知数找出另外两个未知数的关系，重复此步骤一次就能得到标准方程。由标准式化一般式更简单，只需要把一个等式拆为两个等式，如果原来是A=B=C，那么化为 花括号A=B B=C而后化简即可。

（二），平面

同样的，平面方程也有四种表示方法

1. 平面的点法式方程

其中x0.y0.z0为平面上的点，（A,B,C）为平面的法向量

2. 平面的一般方程

法向量为（A,B,C），这个显然是点法式方程的展开式，其中ABC有0的证明平面平行于相应的轴。

3. 平面的截距式方程

a,b,c是平面在坐标轴上的截距。

4. 平面的三点式方程

很明显上述行列式中的元素是由不共线的三点（x1,y1,z1),(x2,y2,z2），（x3,y3,z3)所构成的。写成这种简化形式也是因为行列式本身的意义，不明白的同学可以看一看小酱行列式的文章。

介绍完各自的性质，现在说一说它们结合起来会是怎么样。结合的情况无非线线，线面，面面。题目设问无非平行，垂直，距离。下面以一张表来说明：（省略了点点，点面的情况）

两条直线共面和异面的问题单独拿出来说一下：如果设两条直线的方向向量分别为s1,s2，两条直线上分别找一点P1P2,则有以下结论：

5. 曲面方程

这一块只需要我们记住他们的特征就OK，所以下面给出一些简记的方法，公式在最后面给出。

（1）.柱面

X-0-y平面曲线方程加上z=0

（2）.旋转面

这种一般都是绕某一条坐标轴旋转而得到的，通常会让求旋转后曲面的方程，我们只需要注意以下几点即可：绕着哪条边旋转，哪个坐标不变。另外两个边的平方和不变。代换即可

（3），椭球面

有高中时的椭圆类似，只不过多加了一个平方项。

（4），单叶双曲面

单叶有一个负号双页有两个负号，

（5），双叶双曲面

（6）椭圆抛物面

抛物线有一个平方项，一个一次项，而加上椭圆二字多了一个二次项

（7），双曲抛物面

抛物线有一个平方项，一个一次项，而加上一个双曲二字，加上一个负的二次项

（8），二次锥面

唯一一个常数项为零的

好了，本文到这里就结束了，这一块知识点并没有那么多，再加上好的同学明天就要考试了，所以加紧更了这一期。希望大家多多支持。

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