特殊角平分线图解（基本图形分析法）

例52 如图4-149，已知：⊙O、⊙O′相交于A、B，过B作⊙O的切线交⊙O′于C，⊙O的弦DB与⊙O′的弦CE的延长线相交于F。求证：A、D、F、E四点共圆。

图4-149

分析：本题要证A、D、F、E四点共圆，所以联结AD、AE（如图4-150）后，再根据F、E、C成一直线，问题就转化为要证∠CEA=∠D。由条件在⊙O′中出现了A、B、E、C四点共圆，∠CEA是一个圆周角，所以联结AB（如图4-150）后，有∠CEA=∠CBA。又因为BC与⊙O相切B，BA是过切点的弦，所以又可得∠CBA=∠D，所以∠CEA=∠D就可以证明。

图4-150

例53 如图4-151，已知：⊙O、⊙O′相交于A、B，过B作⊙O的切线交⊙O′于C，过C作⊙O′的切线交⊙O的弦EB的延长线于D。求证：A、E、D、C四点共圆。

图4-151

分析：本题的条件中出现了DC与⊙O′相切于C，且CB是过切点的弦，所以可应用弦切角的基本图形的性质进行证明，于是联结AC、AB（如图4-152），可得∠BCD=∠BAC。

又因为条件中还出现BC与⊙O相切于B，BA是过切点的弦，所以联结EA（如图4-152）后，又可得∠CBA=∠E。

图4-152

现在问题是要证明A、E、D、C四点共圆，这是一个圆内接四边形的判定问题，由于已经出现的是有关∠E和∠BCD的性质，所以问题就可以转化成为证∠E ∠ACD=180°，也就是要证∠E ∠ACB ∠BCD=180°，∠CBA ∠ACB ∠BAC=180°，但现在这三个角是△ABC的三个内角，上述性质当然成立，所以分析可以完成。