数学发展历程中的思想方法（4个角度看数学的发展）

数学的发展无非是概念、定理、公式等知识的深入理解和积累，而在这个过程中，伴随着思想、思维方法，以及组织、工具的发展。在不同的角度，可以把数学划分为不同的发展阶段，比如从学科发展、思想方法、符号使用、数学人才培养等视角，可以看到数学的不同发展阶段。

欧洲文艺复兴后，17世纪出现数学大转折，解析几何和微积分相继诞生，开启了天才的世纪，亦即开创性世纪；18世纪，欧洲的数学分析发生了质的变化，被认为是数学分析精确化的世纪；19世纪的欧洲几何大发展，创立了许多非欧几何学分支，因此19世纪被后人称为几何非欧化的世纪。

【常量到变量】解析几何的建立，标志着数学的发展，由常量阶段进入变量阶段；数学的思想方法得到极大的丰富，为解决自然科学中的运动问题提供了有力工具；变量数学发展的第二个重要阶段是微积分的建立，微积分促成了大量新的数学学科、方向，长期占据数学发展的主流。

【必然到或然】不同于必然现象，数学家开始注意到自然界的随机现象，相应的随机、概率思想得到迅猛发展。

【模糊数学】不同于建立在“集合论”基础上的精确数学，20世纪60年代产生一门崭新的数学学科——模糊数学，从精确数学到模糊数学是数学思想方法的又一个重大变革。

【公理化思想】数学史上首个公理化体系是欧几里得的欧式几何，针对欧几里得“第五公设”的怀疑，催生了众多的非欧几何分支。基于公理化的启发，公理化方法被用于其他的数学学科、方向。

• 皮亚杰提出，“全部数学都可以按照结构的建构来考虑”；
• 希尔伯特的《几何基础》用一种严格的公理化方式重新构造欧几里得几何；
• 在“数学是研究形式结构的科学”的思想指导下，法国的布尔巴基学派把主攻目标放在“用结构的观点和方法将整个数学从内在结构上加以彻底改造”上，以集合论为基础，首先建立了三个母结构：代数结构，序结构，拓扑结构。

数学符号促进了数学的交流和发展，可以极大的方便数学的推理论证和计算。1842年，德国数学史家内塞尔曼在《希腊的代数学》中，根据符号的使用多少，对代数符号的发展分为三个阶段：

• 文词代数，又称修辞代数。即完全用文字语言叙述问题和解法，而不用符号。如丢番图时代以前；
• 简字代数，又称省略代数。即对某些常出现的量和运算采用缩写字母表示，简化了文词表达算法的内容和步骤。如丢番图时期；
• 符号代数，即对数学问题的表述，采用抽象符号表示，如现代通用符号。

17世纪之前的数学发展缓慢，属于初等数学阶段，极具影响力的数学家也很少。在解析几何创立后，开启了数学天才井喷的时代，出现了大量的数学精英；由于新思想的出现、以及自然科学和工程技术的需求，数学课题得到丰富，外加新大学的创办，使得数学家从精英时代，走向专业化或职业化，使得数学家成为一种职业。随着数学的发展，数学史上出现过业余数学家，依赖阅读大师的著作而自学成才的数学家，以及成果涉及各领域的“全才”数学家。数学家经历了从业余、衣不果腹，到大学教授、科学院任职。

作为数学家职业化的外延，数学组织、学派，以及期刊等学术活动也得到极大的发展。

现代数学的发展，出现了新的特点：应用数学从数学中独立出来；数学与其他自然科学的关系空前的紧密；计算机的发明和使用，拓展了数学的研究领域，使得计算数学成为一个新的方向。