数学命题发生型教学模式（探究生长型数学教学模式）

本文为“2022年第四届数学文化征文活动

以折叠为例，探究生长型数学教学模式

作者：童朝敏

作品编号：019

【摘 要】数学教学活动，不是学生被动接受知识的过程，而是生长新知识，生长新方法，增长新经验，生长新思维的过程。对数学知识学习，应找到问题基本模型和生长元，通过变式加强生长元培育，发散思维，拉长思维链，加强生长型教学模式的运用，加强结构教学。

【关键词】生长元；基本模型；变式

数学模型具有文化的深刻性。英国数学家、哲学家怀特海指出：“数学就是对于模式的研究”。数学模型是对某种事物或现象所包含的数量关系或空间形式所进行的数学概括、描述和抽象的提炼，数学模型对于把数学思维方法转化成科学研究，具有较强的指向作用。

数学教学活动，普遍存在刷题现象，往往是“零星散打”的孤立学习。大量重复的练习，既耗费了师生的时间，效果又不一定理想。学生遇到类似或相关问题，往往还不会解决。

我认为，有必要从生命的角度传授数学知识，关注数学问题的本质，不断生长新知识，生长新方法，增长新经验，生长新思维。教学中采用生长型数学教学模式，加强变式和知识迁移，注重结构教学。

本文仅以折叠问题教学为例，从生长型教学模式角度去感受数学文化的深刻性。

一、建立模型，找准生长元

1.如图1，在Rt△ABC中，两条直角边BC=8，AB=6，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，对应点为B'，折痕为AE，求EB长。

图1

基本思路：折叠后原图形生成了新的Rt△B'EC，利用全等变换的性质，把新生的三角形各边长表示出来，利用勾股定理列出等量关系。

此题可作为折叠问题的原始模型。由学生一起分析讨论图形的结构特征，弄清楚折叠前后图形的联系，将待求线段与已知线段归结到原图上新生成的直角三角形中，用勾股定理建立三边数量关系，是解决问题的路径之一。

讲解后，师生可提炼模型：Rt△ 折叠→一个新Rt△，这个基本模型可以看作折叠问题生长元。

师生再挖掘折痕AE的性质，易知折痕AE是∠BAC的角平分线，因此题目可以改编为：

在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6, BC=8, AE平分∠BAC，求BE长。

显然，只要过E点作E B'⊥AC，垂足为B，就转化为基本模型题。

当然，例题及改编题涉及到角平分线，由角平分线的性质，可以利用等面积法解决，或

提炼与挖掘例题的过程中，发现如何把图形中的分散线段，集中到同一个三角形中，进而建立联系，是思维的出发点与生长点。如果聚焦到生成的直角三角形，可利用勾股定理解决；如果关注到角平分线性质，可利用面积法或其它数学知识解决。在多元化探求问题的过程中，学生思维得到生长，知识得到了灵活应用，体现基本模型中生长元的生命价值。

二、改造模型，挖掘生长元

在解决例题过程发现，折叠的对称轴是一条具有定性作用的直线。如果改变对称轴的位置，对称轴将会改变它的性质，变化问题中的生长元是否也发生改变？让学生尝试改编例题。师生合作，共同筛选出以下两个变式题：

D、E分别是斜边AC和直角边BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点C的对应点是C'。

1.如图2，如果C'与A重合，求BE长。

2.如图3，如果C'落在直角边AB的中点上，求BE长。

分析变式题与例题已知条件的异同点，相同点都是Ｒｔ△中的折叠问题，不同点，是折痕的位置发生了改变，例题是内角平分线，改编题１，是斜边的垂直平分线，改编题２，对称点位于AB中点，它决定了对称轴也是一条固定的直线。

学生观察变式题容易发现：Rt△ 折叠→一个新Rt△，这个生长元仍然存在。变式题与模型题，都在折叠后在原图上生成了新的Rt△，所以依然可以利用勾股定理，列出三边的数量关系求解。

考虑到矩形与直角三角形的子母图关系，鼓励学生尝试在矩形背景下改编例题例，筛选出改编题：

如图４，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，点E是BC边上的一点，连接AE。把△ABE沿着AE折叠，点B对应点是B'，当△ECB'为直角三角形时，求BE长。

这个改编题，显然存在生长元。但要用分类讨论的思想方法对生长元进行讨论，如图4（1）、图4（2）,学生的思维链得到了拉长，教学也具有了生长性。生长元改造为：

矩形 折叠→一个新不确定位置Rt△。学生体会到解决折叠问题必须透过现象看本质，一定要在原图上找到折叠后生成的直角三角形，无论它是位置如何，都由数或式表示出三边长，由勾股定理建立三边的数量关系或直接求出。两次改编各有侧重，折叠问题变得灵活，教学充满了生机与活力。

三、拓展模型，升级生长元

模型题是直角三角形中的折叠，由于矩形具有四个直角，对折矩形保留直角，会出现直角三角形，但不一定沿着对角线折叠。因此，模型可拓展到矩形，拉长问题链，升级生长元。

已知：如图５，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=5，BC=12，求EC的长。

模型题的生长元，是在折叠后的图形中生成了一个新的直角三角形，然后由勾股定理得到三边关系。观察本题，折叠后生成了两个直角三角形，Rt△ABF、Rt△EFC。

易知Rt△ABF三边长度固定，只剩下Rt△EFC三边待定，它就是问题的生长元。进一步思考，生成的两个直角三角形，具有“一线三等角”的特征，可证Rt△ABF∽Rt△FCE，利用两个相似三角形对应角相等，由对应边成比例或三角函数定义，易得到边长的数量关系。

图５

由此可见，折叠矩形，可能生成两个直角三角形，一个三边已知，一个三边不全知。如果两个三角形，三边均可以表示，可以利用相似三角形对应边成比例性质求出。折叠问题的生长元得到升级，由一个Rt△生长为两个Rt△，即：

矩形 折叠→两个Rt△。

解决的工具有勾股定理增加了相似形的性质或锐角三角函数的定义，思维的链条又进一步拉长。

由于矩形有四个直角，折叠的次数可以由一次到多次，生成更多的直角三角形。可引导学生在此题的基础上进一步折叠，并提出问题。

如图６，在矩形ABCD中，AD=8。将∠A向内翻折，点A对应点A'在BC上，折痕为ED。若将∠B沿EA′向内翻折，点B对应点B′恰好落在DE，求DC长。

图6

发现经过两次折叠，生成三对全等三角形，由两次折叠知道：∠AED、∠A'ED、∠A'EB三个角相等，易知均为60°，因此△A'DE边长已知，转化为上题。可见，折叠后三角形个数增加，折叠次数增加，但折叠问题的基本元不改变，找到生长元，问题立解。

四、变化模型，培育生长元

如图7，在正方形纸片ABCD中，E是DC的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD=8，求CF长。

图７

折叠后原图上形成了一对对角为直角的四边形，连接对角线，四边形可划分为两个不相似的RT△，利用公共斜边由勾股定理列出等量关系式。

如图8，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝3，BG＝8，求BE的长。

图8

折叠后形成了含有60°特殊角的三角形，作过E作BG边的高，得到含有30°角的Rt△和一般的Rt△，在特殊三角形中表示三边长，在一般Rt△中列方程。即：

特殊四边形 折叠→含有特殊角的四边形或三角形。

应把生成图形分割成两个直角三角形，培育了生长元，问题也迎刃而解。

五、融合模型，运用生长元

如图9，已知一次函数图象经过经过点A（1,3）和B（5,0）。

（1）求一次函数的解析式；

（2）若该一次函数的图象与y轴的交点为C，点Q是x轴上一点，且满足QA=QB，求点Q的坐标。

图9

这道题，是一次函数题，看似与折叠无关，第（2）问，由条件QA=QB，可知Q点是BC垂直平分线与x轴的交点。显然问题转化为模型题，找到生长元 Rt△OQC，求出OQ，问题解决。

如图10，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E是边AD上一点，将△ABE沿直线BE对折，得到△FBE，延长EF与直线BC相交于点G。

（1）当点G在线段BC上时，若四边形EGCD为矩形时，求AE的长。

（2）当点G与点C重合时，求AE长。

（3）当点G在BC的延长线上时，探究是否存在AE长使四边形ACGE为平行四边形？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由。

图10

本题是平行四边形的综合题，题目已知折叠，可以利用生长元：生成的Rt△FBG，要发现BC=EC，是解题关键。（1）问由题意，生成不了三角形。（1）问不符合模型条件，但易求解。

由以上分析，找到和培育数学问题的生长元是基础，分析生长元的结构特征是根本，通过变式与拓展，进一步掌握生长元的本质是关键。让学生掌握前后知识的逻辑联系，了解知识是如何“生长”的，从而让学生有目标、有方向的学习，在知识的联系中学习知识，学生只有具备了结构知识，才能够“存取自由”，才能够高效和本质地解决问题，也体现了数学模式文化的深刻性。

参考文献

[1]王美霞 李峰：寻求不同视角 开拓思维深度 [J].中学数学教学参考,2018中旬(4):23-24.

[2]汪佃才：习题深度教学的实践探索与思考 [J].中学数学教学参考,2018中旬(5):56-59.

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