空间几何体的直观图的教学目标（空间几何体的结构特征）

周远方（湖北省教育科学研究院）

纪荣强（北京四中）

2014年高中青年数学教师优秀课展示与培训活动，已经于12月8日在重庆落下帷幕，“空间几何体的结构特征”作为本次活动的八个指定课题之一，被安排在八个会场之F会场．在本会场指定课题“同课异构”的四节展示课中（见下表），北京四中纪荣强老师的展示课，得到了本会场评委老师和观摩代表的一致认可，被推选为特别提名奖．

指定课题：“空间几何体的结构特征”的四节课例说明

F会场	指定课题	教材	节次	姓 名	学 校
重庆南开中学北楼四楼阶梯教室	空间几何体的结构特征	人教A版	1	纪荣强	北京四中
2	许 波	福建厦门双十中学
3	马 珅	黑龙江哈尔滨七十三中
4	文晓梅	新疆库尔勒四中

一、总体评价

为了便于大家对本节课的赏析，对该指定课题的预设要求和四节课例（以下按节次分别简称为课例1、课例2、课例3和课例4）的对比评析分别说明如下。

1．指定课题预设要求

（1）如何抽象概念。

要求利用实物模型及信息技术，引导学生观察大量空间图形，抽象出柱、锥、台、球的结构特征．

（2）如何概括概念。

（1）写出制作步骤；

（2）说明你制作的模型为何符合此正视图．

教师将班里同学制作的模型放在陈列架上展示，并让两位同学向全班展示模型，分析其制作过程．在同学介绍分析的过程中，教师加以引导，从学生对模型的叙述中提炼出点、线、面这些基本元素，使同学们意识到我们是通过点、线、面的形状、位置和大小去描述模型和正视图．其中涉及到的一些特殊位置关系，即线面垂直和面面垂直，更是保证正视图符合题意的关键．

而后师生共同回顾，初中还学过直线和直线的哪些位置关系？在初中研究位置关系时，我们有着一系列的概念、公理和定理，构成了严谨的体系；在立体几何的学习中，我们也不能仅仅满足于通过观察去判断位置关系，同样需要概念、公理和定理作为证明和计算的保障．

例如，有同学在制作模型的过程中，会发现一些边折叠之后正好可以构成直角三角形，这应当不是巧合．还有当下流行的3D打印机，计算机不能靠直观观察平行和垂直，也需要我们提供程序化的指令作为判断依据．这些问题都需要在后续学习中寻找答案．

【评析】问题1既让学生直观感知几何体，又通过制作模型得到操作确认．教师从学生对制作过程的描述中抽象出构成空间几何体的基本元素，以及立体几何的研究内容，自然地将整个立体几何部分的学习内容展示给学生．通过与初中平面几何的对比和两个贴近学生生活的小例子，揭示了进一步从公理化的角度来研究位置关系的必要性，为把对位置关系的认识从直观感知进一步上升为推理论证做好铺垫．

环节2：共同讨论，概括特征。

现在我们学会了用数学语言，即用点、线、面去描述这些模型的制作过程．那大家能不能也用这样的数学语言来描述下面这个问题。

问题2：具有怎样特点的几何体叫做棱锥？

除了展示架上的模型外，教师再给出两个模型示意，其中一个是棱锥，另一个则不是．让学生思考，这个棱锥模型和大家制作的模型有什么共同点？

同学们互相讨论，而后作答．

教师加以归纳总结，把直觉性的生活语言上升为数学语言，对于一些含混或复杂的叙述则启发学生继续从形状及位置这些特点入手加以简化．

学生可能会提出的不同描述有：

（1）底面是个多边形；

（2）除底面外其余各面交于一点；

（3）除底面的边外其余各边交于一点；

（4）所有的面都是三角形．

预案：如果有同学提出所有的面都是三角形，笔者则会启发学生思考，只有这个条件可以吗？并展示正八面体，正二十面体等反例．如果没有同学提出，笔者则会引导学生思考，其余各面都交于一点，这是各个面的位置关系，这些面的形状呢？进而继续设问，所有的面都是三角形可以吗？并展示反例．

师生共同总结，概括出这样几条特征：

（1）有一个面是多边形；

（2）其余各面交于一点；

（3）其余各面都是三角形．

而后教师给出对棱锥结构特征的描述。有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

在概括特征时，我们还是运用点、线、面的形状（多边形及三角形）和位置（公共点）来描述棱锥的结构特征．这也是我们刻画几何体结构特征的一般思路．后面我们还会继续用这样的方法去研究棱柱等其他几何体的特征．

教师向学生介绍棱锥中的一些关键元素的名称：多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．

【评析】引导学生从点、线、面这些基本元素入手，用它们的形状、大小与位置关系去刻画棱锥的结构特征．在概括提炼棱锥结构特征的过程中，使学生了解到描述空间几何体结构特征的一般思路，为后续继续研究棱柱，棱台等其他几何体提供方法．

环节3：创设活动，应用特征。

现在我们对棱锥的结构特征有了明确的认识．今后我们在分析和判断棱锥时，就不再像初中一样只是通过观察，而有了理论依据．下面我们就试着运用这些特征来解决两个小问题．

同学们四人一组分组讨论，每组派一个代表作图准备展示．

同学可能得到不同的答案，选取两到三组不同的答案展示分析．对比俯视图与直观图，让学生思考，俯视图中哪个点适合作为棱锥的顶点？棱锥的底面是什么形状的？继续强化从棱锥的顶点和底面入手还原棱锥的过程．俯视图中共顶点的线段可以还原为共顶点的三角形，这正是棱锥结构特征的体现．

在讨论解决问题4后，教师布置如下问题留作课后思考：

问题5：具有如图7所示俯视图的棱锥也可以由正方体切割得到吗？

【评析】问题3从学生熟悉的正方体出发，引出对棱锥特征的进一步认识；问题4继续拓展，从俯视图中寻找和识别棱锥的结构特征，进而还原出直观图．学生活动采用先独立思考，后分组讨论的模式，在解决问题的过程中不断发展学生的空间想象能力．

环节4：归纳总结。

最后我们来回顾一下今天这节课．我们概括出了棱锥的结构特征，即有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

在概括的过程中，我们从图形中抽象出点、线、面这些基本元素，用它们的形状、大小与位置关系去刻画几何体．接下来还要用同样的方法继续概括棱柱，棱台的结构特征．

点、线、面的位置关系更是立体几何的核心研究对象，在后面还要进行深入讨论．

课后作业：仿照描述棱锥结构特征的过程，自己用数学语言概括棱柱及棱台的结构特征，并与课本相对照．

（二）教学反思

基于指定课题的内容具有双重性，既可视为立体几何的单元起始课，也可定位于空间几何体的结构特征的概念课．为此，针对本班学生数学基础好的特点，经过反复斟酌取舍，最终选择以棱锥的几何特征作为教学的突破口．通过对教材的二次加工改造，利用课前布置复习初中空间几何体的三视图的准备，为本节课的教学提前做好了铺设．这样做既兼顾了概念课与起始课齐头并进，也避免了仅以棱锥替代的一叶障目之嫌．

从课堂实施的效果来看，这样的构思设计和教学过程还是比较顺利的，学生很配合，符合数学基础好的学生的认知特点，尤其是借助对棱锥概念的直观感知、操作确认和理性思辨的过程，让学生掌握其基本套路，并能类比迁移去学习其他几何体的结构特征．

三、教学点评

1．可取之处

本课除教学设计采用别开生面的一体突破式策略之外，其以开放式、探究式和启发式相结合的课堂生成方式，也令人耳目一新．无论是问题的设置、环节的掌控和活动的展开，还是概念的优化、知识的迁移和思维的转换，都做到循序渐进，过渡自然，水到渠成，真正让学生达成了几何概念教学的一种目中有物，手中有体，脑中有图，胸中有例，口中有述的境界．其突出的特色体现在一个“巧”字上，可谓是以巧取胜．

一是依托棱锥模型，体现巧取善舍．将棱锥的结构特征作为研究的基石，既巧妙地避免了对几何体结构特征的平均用力，也善意地避开了棱柱结构特征的难点，做到了单元起始课的有的放矢．

二是通过维度升降，实现平面与空间的转换．紧紧扣住棱锥的核心要素，以基本棱锥的俯视图的开放设问为载体，通过视图、画图、切图、识图和用图联用的手法，让学生在三视图与直观图的平面和空间切换与转成之中，在点、线、面、体的维度升降与转化之中，寻找识别棱锥的结构特征的关键要素，在解决问题的过程中不断发展学生的几何直观能力和空间想象能力，做到了几何概念课的收放有度．

2．改进之处

要进一步提高概念教学“善于举例、善于提问、善于优化”的三项基本功．为了理解一个概念，一般而言，一是扣住定义的关键词语；二是正反举例；三是注意特殊情况；四是与有关概念进行比较，找出概念的区别和联系．因此，概念课的教学应加强由操作性认识向结构性认识（去情境化）的必要过渡．

本节课的特点就是概念的依附性强，教学时应突出概念内化的要领，而不是游离于形式．例如，三棱锥中出镜率最高的是直三棱锥（墙角锥），故可由正方体中分离出该棱锥，以突出基本棱锥的结构特征．同时，也可适当拓展棱锥类型，有利于学生对棱锥的全面认识．还可通过学生之间相互描述几何体的结构特征，找出或画出对应的几何体等．

总之，几何概念的教学，既要遵循核心概念教学的一般规律，按照三个层次（直观感知—操作确认—理性思辨）、三条铁律（以学定教—以教导学—温故知新）和三个理解（理解学生—理解教学—理解数学）贯穿于教学的全过程，又要提升概念教学的三项基本功，通过有效地举例、恰当地提问和不断地优化，去实现几何概念由具体形象到直观抽象的有效过程，直到最终达成有效提升空间想象能力的目的．

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