浙江专升本微分方程笔记（广东专插本高等数学第五章常微分方程）

• 掌握常微分方程的定义
• 掌握可分离变量的常微分方程的求法

常微分方程的定义：含有自变量x，未知函数y及其导数y'的方程叫做常微分方程。如xy-y′=0;y′′ 2y′-3y-x=0;y′-y=0等。

其中，未知函数导数的最高阶数叫做常微分方程的阶。

【两个专业名词】

通解：解中含有表示任意的常数C；

特解：不含任意常数的解。

可分离变量的常微分方程求解：形如y′=f1(x)f2(y)，求解该方程时，采用可分离变量的方式。

• 掌握一阶线性微分方程的求解
• 掌握二阶（常系数齐次线性）微分方程的求解

一阶线性微分方程：如y′ P(x)y=Q(x)，即可用一阶线性微分方程的公式：y=e^(-∫P(x)dx) [∫Q(x)(e^∫1P(x)dx)dx C].遇到这种题目时，一定要写对公式，注意一个积分符号搭配一个dx。

二阶微分方程求解：形如y′′ py′ qy=0

[特征方程法]r^2 pr q=0

对于此一元二次方程

1.当有2个不同的实根r1,r2, y=C1e^(r1x) C2e^(r2x)

2.当有2个相同的实根r1=r2=r, y=(C1 C2x)e^rx

3.当有2个虚根r1=α βi,r2=α-βi, y=e^αx (C1cosβx C2sinβx)