最大公因数辗转相除法的原理（辗转相除求最大公约数原理）

辗转相除法代码

代码并不难，很多人都会写。

public static int f(int a, int b){ while(b != 0){ int temp = b; b = a % b; a = temp; } return a; }

举个例子，例如6，8按照代码运行一遍。

a b 6 8 8 6 6 2 2 0

求最大公约数步骤

两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。 设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数的步骤如下：

(1)用a除以b(a≥b)，得 a / b = q…r1 。

(2)若 r1 = 0 ，则 (a, b) = b；

(3)若 r1 不等于 0 ，则再用b除以 r1 ，得b / r1 = q…r2(此处q不是上方的q).

(4)若 r2=0 ，则(a,b)=r1 ；若 r2不等于0 ，则继续用r1除以 r2 ，……，如此下去，直到能整除为止。 其最后一个余数为0的除数即为 (a,b) 的最大公约数。

为什么这样进行递归除下去

假设有两个数x和y，存在一个最大公约数z=(x,y)，即x和y都有公因数z， 那么x一定能被z整除，y也一定能被z整除，所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。（m和n可取任意整数）

对于辗转相除法来说，思路就是：若x>y，设x/y=n余c，则x能表示成x=ny c的形式，将ny移到左边就是x-ny=c，由于一般形式的mx±ny能被z整除，所以等号左边的x-ny（作为mx±ny的一个特例）就能被z整除，即x除y的余数c也能被z整除。

由以上的推理可知 a / b的余数，也能被 (a,b)的最大公约数整除，因此就将问题转化为求其中较小的数和余数的最大公约数，最终将范围不断减小，从而求出答案。

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