长方体各部位的名称及知识点（有温度的数学）

长方体的教材定义是“由6个长方形围成的立体图形”，表面简单，实则难懂。长方体的本原定义是来自《几何原本》与《九章算术》。通过长方形异面垂直平移，并将平移轨迹保留，形成长方体，这是长方体形成的本原。但这样的本原性问题，对于小学生来说，不仅难以理解，更难以解释。我们要做的是追寻这样的本原思想，并不是解释本原，而是经历本原。一张A4纸可以理解为一个面，100张A4纸放在一起就形成一个长方体（图—1）。这种动态的认识长方体，

有助于学生其后理解长方体的体积公式，并为柱体体积（底面积×高）的学习做好铺垫。

（图—1）

“柱体的体积＝底面积×高”如何理解呢？根据柱体形成的本原，柱体是由圆移动留下的轨迹形成的图形，轨迹的长短用“高”来表示，通俗点说“底面积×高”就表示柱体中到底有多少个面。柱体的大小与底面大小有关，与柱体包含多少个底面有关。底面积表征底面大小，至于有多少个底面，数不过来，可以用高度来表征底面数量。

长方体的体积计算公式的本原可以从两个方面来分析。

从几何的角度看，人们有两种方式表征体积：一是用长、宽、高来表征体积；二是用长方体的一个面以及垂直于这个面的一条棱来表征体积。从第一种表征方式出发“长方体的体积=长×宽×高”；从第二种表征方式出发“长方体的体积=底面积×高”。为什么有了“长方体的体积=长×宽×高”还要有“长方体的体积=底面积×高”？这是几何体统一的需要，后者是更广泛的“柱体”的体积计算公式，不特指长方体。

从代数的角度看，在体积出现之前有了“立方数”，就是三个相同的数或量的积可表示为这个数或量的立方。随着几何与代数的结合，人们赋予体积一些代数性质，用立方数表示体积，于是有了“长×宽×高=体积”。古埃及人在四千年前得到的体积计算公式是“V=h/3（a²＋ab＋b²）”,和现在的计算公式虽然差距很大，但体积的计算结果却很相近。可以看出古埃及人使用长、宽、高表征体积，他们的体积计算突出的是一种“均衡”和“对称”，他们求出的长方体的体积其实是三个体积的平均数。这也从另一个角度说明金字塔的设计及相关计算是古埃及人的智慧。

在推导长方体的体积公式时有这样的纠结，“长×宽”求的是底面积还是一层体积单位的数量。如果从测量的角度来看，“长×宽”求的是一层体积单位的数量。如果从体的概念来看，“长×宽”求的是底面积。首先明确一个概念，什么是体，（《几何原本》）由面的概念可知体的概念，“体是面的均匀分布”。那么从这个角度来看“长×宽”，表示面积是肯定的。面是有边界无厚度的东西，多少个面压在一起也不会构成体。这似乎是个悖论，但这个悖论存在于成人，儿童并不认为这是个什么难懂的问题，因为“长×宽=底面积”，“等量传递”在这里帮助儿童理解了这个问题。他们也许只想到“体积=底面积×高”比“体积=长×宽×高”要省事一些。前面提到“纠结”，老师纠结于“面的叠加会是体吗？”我们到什么时候也不要忘记数学是抽象的科学，其思想是博大的，如果我们从“极限方法”与“不可分量方法”去考虑，就非常有道理了。我们能理解“化圆为方”、“ 化曲为直”，就应该能理解“化无为有”。想一想，我们在研究面的时候，你可曾向学生展示过“数学意义”上的面？我们在课堂上研究的大多数几何图形不就是在“化无为有”吗？

回到上面的话题，面积能表示小方块的数量吗？能，这就是数学的抽象性，是几何与代数的完美结合，每个面上都承载着一个“体”。对于学生来说他能明白吗？“过度讲解”就不会明白，古语讲“过犹不及”，对于二者的联系学生只需体验到“体积单位的数量与长、宽、高的乘积等值就可以”，计算长、宽、高的乘积就相当于求体积单位的数量。有些问题不必深究，到了第三学段，还要继续研究。数学是严密的，而且是一种无懈可击的严密。但是对于小学生来说，体验数学的严密性有个过程，在小学我们要把握严密性的“度”，不要为了严密而严密，我们的责任是带领学生探寻数学产生的本原，让学生在体验、经历的过程中喜欢数学。

在体积计算中涉及两个过程的体验，就是体积测量与体积表征的问题。我认为前者应该让学生详细体验，而后者可以通过“合情推理”的方式让学生建立“底面积×高”与体积之间的联系，通俗点讲，就是让学生感觉有道理即可。