三角形的三个内角和为180度证明（地球上的三角形内角和都大于180度）

　　先别反驳我，听我讲个故事：有个人向他的朋友叙述出去探险的奇怪经历，他找一个绝好的地方，搭了个帐篷后就出动了。他先往北走3公里，接下来往东走了3公里，饥寒交迫就准备回休息点，又向南走3公里，正好回到出发点的帐篷。朋友说他吹牛，给他画了一个示意图，这样走是不可能走回出发点的，他却坚持说没有撒谎。他的朋友深思了一会，相信他，并祝福了他。你相信他吗？

　　他这次是去南极探险，而他搭帐篷的地点正好是南极点。因此他向北、往东、往南三次是可以回到原来的起点的，他走的路线正好构成每条边为3公里的三角形。我们来看看这个三角形，把起点记为O，另外两次转向的点分别记为A、B，A点由正北转向正东，是直角，B点由正东转向正南，也是直角，不管角O是多少度，这此三角形的内角和大于两直角。

南极附近经纬线

　　这不是诡辩，而是我们生活在球面上。我们中学所学的平面几何建立在地球上理论上并不存在的平面上，在上帝的视角，真正适用于地球曲面上的几何是黎曼几何。

　　我们中学所学的平面几何，又称欧氏几何，是在5个公理的基础上逻辑演绎而得。这5个公理的前4条（任意一点到另外任意一点可以画直线、一条有限线段可以继续延长、以任意点为心及任意的距离可以画圆、凡直角都彼此相等）确实看起来确实显然，而第五条（过直线外一点，能且只能做一条直线与已经直线平行）看起来就不如前4条那么显而易见了。欧几里德后的几千年时间里，无数的数学家尝试通过前4条来证明得到第5条而不得。有些数学家就尝试用反证法：我假设过直线外一点可以作不止一条直线与已知直线平行，是不是能推出一些矛盾，结果发现逻辑上一点问题也没有，十九世纪，罗巴切夫斯基由此创立罗氏几何。里面的一些“奇谈怪论”诸如：过直线外一点可以作无数条平行线，三角形内角和小于两直角等“谬论”深深刺激了数学界，当时已经贵为喀山大学校长的他受到无数的攻击。就是当时的数学泰斗高斯，其实在他之前已经有这方面的研究成果，因为害怕激起学术界的不满和社会的反地，不敢公开自己在这方面的研究成果，更不敢出来为他说句话，罗巴切夫斯基后面被免了喀山大学校长一职，郁郁而终。

　　但还有不怕死的后来者，那就是黎曼。他从第五公理的另外一个角度出发：过直线外一点不能做直线的平行线！他在这公理的基础上进行逻辑推导，也建立了一套逻辑上完全没有问题的几何公理体系，当然也有一些看起来非常奇怪的“谬论”：直线可以无限延长，但总长度是有限的；三角形内角和大于两个直角等。

欧氏几何、黎曼几何、罗氏几何空间

　　黎曼系统完善的非欧几何在60年后才发现它的巨大应用。1905年爱因斯坦发现了狭义相对论，在此之后，为了把引力场几何化，将引力场与时空结构联结起来，爱因斯坦开始建立广义相对论。他需要寻求一种可以描述广义相对论的几何结构，但对于数学他并不像物理那样有深入了解，幸运的是他拥有一位数学家朋友，从朋友处爱因斯坦得知，自己打开广义相对论大门的钥匙竟然在60多年前就已经由黎曼创造。爱因斯坦经过两年多钻研黎曼几何，由此发表了广义相对论，以及质能公式E＝ｍｃ＾２。

　　因为黎曼几何正是描述在曲面上的物理形态，正是大尺度宇宙或者微观世界的时空形态，霍金有本书就叫《果壳中的宇宙》。怎么理解黎曼几何在球面上的模型呢，可以把直线相当于球面上的赤道线，赤道外的任一点作一个大圆（半径为地球半径的圆），都会与赤道圆相交，相当于黎曼几何中直线外任一点不存在与直线平行的直线。罗氏几何空间的现实模型相当于上图上的马鞍形曲线，直线相当于截面曲线，过直线外一点还是可以作无数个截图与曲线不相交的。

　　回到最前面的问题，理论上我们在地球上画的线你认为再直，因为地球是一个球体，也是沿球面有个弧度的，在宏观上是在曲面上，因此地球面上的三角形内角和都大于两个直角。在我平常生活的尺度上，我们还是以欧氏几何的平面上进行，但在航天航空的尺度上，就需要按照黎曼几何的曲面空间理论进行运算了。