拉链定理证明（四色定理证明）

图1

如图1，这是一幅重庆市地图，我们可以把其中的每个区县级行政区都看作一个点，只要两个行政区是相邻的，就可以连接表示这两个行政区的两点，这样，行政区的相邻关系就可以表示成两个点之间的连接关系。可以看出，此连接图由许多三角形组成，三角形的各个顶点代表各个行政区，两点之间的连接线代表行政区的相邻关系。

图2

再看图2： 图2此图由许多小的等边三角形组成，我们按如图所示的着色规律为其分别着上颜色。可以看出，此图有四种不同颜色小三角形，且同色小三角形互不相邻。 然后，我们为这些不同颜色的小三角形各顶点着上颜色，着色规律为：顶点的着色必须与其为中点并向周围辐射的六个小三角形颜色不同（如图3）。

图3

仔细观察此图，我们可以看出，顶点的着色实际上只有一种选择，共有四种不同颜色的顶点，且颜色相同的顶点互不相邻。 图3我们可以把图3看作一个标准图，根据需要，此图可无限扩大。图1与图3不同，其三角形不是等边的（三角形是否等边不重要，关键是每个顶点之间的连接关系），且以每个顶点为中点向周围辐射的三角形数量也往往不是六个，即图1不是“标准图”。这样看来，我们不能把图1顶点的着色规律应用于图3，但实际上，我们可以采用一些技巧使图1的各个顶点能以四种颜色完全区分，也即是可以以4种颜色完全区分各行政区。在实际处理中，我们可以使图1尽量“标准化”，而那些不能标准化的情形，需进行区别处理，这些处理使非“标准化”情形造成的问题局限化，而不致“牵一发而动全身”，下面就一些不同情形分别进行讲述。假如由顶点向四周辐射的三角形数量小于6个，即5个、4个和3个，那么情形就会分别如下3图（图4、图5、图6，此3图黑色线段代表与标准图不同的顶点连接关系）：

图4

图4：由顶点向四周辐射的三角形数量为5个

图5

图5：由顶点向四周辐射的三角形数量为4个

图6

图6：由顶点向四周辐射的三角形数量为3个

我们可以看到，上述情形顶点在空间上仍可均匀分布（当然需要一定的等效处理），只是改变了标准图中顶点的连接关系，而改变了顶点的连接关系后，仍不会出现颜色相同的顶点相互连接的情况，即上述这些情形仍可用四种颜色把各个顶点区分开来。假如由顶点向四周辐射的三角形数量大于6个，那么必须根据其是奇数个（如7个），或偶数个（如8个）的情形分别进行处理。处理方式如下两图：

图7

图7 顶点周围有7个辐射三角形，如果辐射三角形数为大于等于7的奇数，只需在此图增加点的黑色线段上再加上2n个点并作相应连接即可，显然，为这些多出的点着上不矛盾的颜色是很容易的：为方便理解，图中虚线线段代表新增点与其它点（非辐射中心点及非辐射中心点周围连接点）之间的连接关系，显然，这些虚线线段不能经过两个及两个以上三角形。

图8

图8 顶点周围有8个辐射三角形，如果辐射三角形数为大于8的偶数，只需在此图上增加点的黑色线段上加上2n个点并作相应连接即可，显然，为这些多出的点着上不矛盾的颜色也是很容易的。 通过上述的图形描述（直接上图更直观，更易理解），我们对各种非“标准化”情形进行了相应的处理，使得各种非“标准化”所导致的困扰局限化，也就是前面所说的不会“牵一发而动全身”。 再回到前面所说的地图中不能“三角化”的情形，如“国中国”，显而易见，在这些情形下其实具有更多的着色选择，这里不作说明。 这是我在研究四色定理中得出的一些东西，可算作证明，有的东西写得并不太具体，更多的是用图作说明，因为看图就可以做出显而易见的推断。根据以上的语言描述及图示的处理方法，应该可设计一种并不复杂的计算机程序对任何简单或复杂的地图进行着色（国家或行政区的着色应与代表其的顶点颜色一致），只需四种颜色，而且不会出现着色矛盾。我曾经把这种方法用于加德纳四难着色图，很容易就解决了问题。另外，再把图1及标准图和万维网的连接方式对比一下，是不是很有趣？ 四色定理所蕴含的东西并不只涉及图论，万物理相通，比如标准图实际上有分形性质（最简单的分形），具备自相似性：等边三角形，1/2等边三角形，1/4等边三角形，如此无限下去，如图9：

图9

图9在此标准图中，若最小等边三角形边长为1，则以其为中心的边长为2的n次方的三角形如选择着色与中心最小三角形颜色相同，就不会与其周边小三角形出现着色矛盾，这种规律，我们可以理解为一种着色的分形，如图10：

图10

图10 还可以发现其它的着色分形规律，这里不作详解。另外，上述方法及规律可以拓展到三维，只是标准图由多个等边三角形变成了多个正四面体，顶点由二维变成了三维，有兴趣大家可以研究一下。另外，从此分形图还可以看出，低一层级的三角形数量为高一层级三角形数量的四倍，可以这样认为：如二进制为数字的一维表达，那么四进制就是数字的二维表达；再想想正四面体，八进制就是二进制的三维表达。