三角形角和边比例关系（从三角尺到倍角三角形）

01---为什么三角尺的锐角设计成特殊角？

三角尺的锐角为什么要做成30°，60°，45°？

---特殊角呗。

---可以很方便画其他非特殊角比如15°，75°等。

---三边之比1：√3：2或1:1：√2。

。。。。。。

这些回答都是对的，但又是不完整的。

下面我们看看，除了大家说的以外，还有哪些原因。

△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，C=90°，

则三边满足勾股定理，

a² b²=c²

即两边的平方和=第三边的平方。

突发奇想：这两边的平方差呢？这两边的平方差与第三边有什么关系？

a²-b²可以用c表示吗？

如图1，若∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°，则c=2b，a=√3b

-------图1------

a，b，c三边显然满足勾股定理，

即a² b²=c²，

不仅这样，而且

a²-b²=3 b²- b²=2 b²=2b·b=bc，

即a²-b²= bc.

这个结论对另一块三角尺是否成立？

如图2，若∠B=∠C=45°，∠A=90°，则b=c，a=√2b。

-----图2----

b，c，a三边显然满足勾股定理，

即b² c²=a²，

不仅这样，而且

a²-b²=c²= b·c=bc，

即a²-b²= bc.

这是一般直角三角形所没有的性质哟！

02---倍角三角形及其性质

仔细分析产生这一现象的原因：

1.因为直角吗？

显然不是，直角只能保证三边满足勾股定理：两边的平方和等于斜边的平方。

2.因为特殊锐角吗？

含30°或者45°的三角形中，三边也不一定存在这种关系。

3.原因既不是1，也不是2。只能是。。。，再仔细观察发现：图1和图2中，都有“∠A=2∠B”这个条件。即图1中，60°=2×30°，图2中，90°=2×45°。

是不是说，撇开那些特殊角，比如，90°，45°，30°，60°。

只要一个三角形满足：一个角是另外一个角的2倍，三边就有上述关系呢？

试试看，如图3，

-----图3----

△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠A=2∠B，

如图4，作∠CAB的平分线AD，

---图4---

则∠DAB=∠DAC=∠B，

所以设DA=DB=x，CD=a-x，

并且在△ACD和△BCA中，

∠DAB=∠B，∠C=∠C

所以且△ACD∽△BCA，

因而三边对应成比例，

即b：a=(a-x)：b=x：c

解得x=bc/a，且b²= a²- bc，

即a²-b²= bc.

上述探究过程说明，一个三角形中，若一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边就存在这种关系。

哪种关系？

试着说明一下：两边的平方差，等于另一边与第三边之积。

这个说法显然含糊不清，不满意！

再来一次。

成倍角的两角所对边的平方差（非负），等于较短边与第三边之积。

因而，我们就有了下面一般性的结论：

倍角三角形的定义：

一个三角形中，若一个角是另一个角的两倍，则这个三角形叫做倍角三角形。

倍角三角形的性质：

倍角三角形的三边满足：成倍角的两角所对边的平方差（非负），等于较短边与第三边之积。

太啰嗦啦！

没办法。要说清楚，只能这样啦！不过对照图看可简洁多了（图形语言多重要哟）。

如图5，△ABC中，若∠A=2∠B，则a²-b²= bc.

-----图5-----

从这里可以看出三角尺的锐角设计成30°，60°，45°，除了前面大家说的原因外，还有一个重要原因：两块三角尺也是倍角三角形！

常见的倍角三角形，除了两块三角尺以外，还有顶角为36°的等腰三角形（黄金三角形，如下图）。

03---倍角三角形的性质应用举例

这个结论有何用途？

这是大多数最关注的，下面略举三例说明。

例1.△ABC中，∠B=2∠A，且BC=5，AB=10，求AC的长及三个内角。

分析：你看吧，∠B=2∠A，就说明△ABC是倍角三角形，因而其三边应该满足前面总结的那句话（自己画草图，看清楚图哟，哪角对哪边，哪是第三边，可要看仔细，小心列式出错），即得AC²-BC²= BC×AB，代值计算得AC²=75，则AC=5√3，

∵AC² BC²= 100= AB²，

∴△ABC是Rt△，且∠C=90°，

则∠B ∠A=90°，∠B=2∠A，

解得∠A=30°，∠B=60°.

点评：此题重点在画草图和强烈的对应意识！

例2.一个三角形的最大角是最小角的2倍，且三边为连续整数，求三边长。

分析：画草图，此三角形为倍角三角形哟，设a=x-1，b=x，c=x 1，

则

（x 1）²-（x-1）²=x（x-1）

解得x1=0（舍去），x2=5

所以三边长为4，5，6.

点评：同上，画草图和强烈的对应意识！

例3.如图6，△ABC中，∠C=3∠A，BC=27，AB=48，求AC的长.

----图6-----

分析：突然蹦出3倍角，咋办？分割呗！如图7，在AB边上找一点D，连DC，使得∠DCB=∠A，

则∠DCA=2∠A，因而△ACD是倍角三角形，不仅如此，而且△ABC∽△CBD（为什么？卖个关子！）。

-----图7------

因而，

由倍角三角形三边关系得，

AD²-CD²=CD×AC，

由相似三角形三边关系得，AB:CB=BC:BD=AC:CD，

即 48:27

=27：（48-AD）

=AC:CD，

解得AC=35。

点评：比上面多一条，分割构造倍角三角形。

04---结语

从特殊三角形（两块三角尺）中，发现了区别于勾股定理的三边的关系，抽丝剥茧发现这种关系是倍角三角形特有的性质，将结论由特殊推广到一般。从而总结出倍角三角形的性质（三边的关系），并举例说明了利用倍角三角形的性质来解决具体问题。这也是一个数学学习者，学习过程中的完整记录。

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