21个极度烧脑的数学悖论（罗素悖论和第三次数学危机）

作者：大神团·杨浩

作者介绍：杨浩，新东方超尖生计划授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。

逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑还得使用逻辑。

——布特鲁（Pierre Boutroux）

在著名的科幻小说《三体》中，三体人用智子锁死了地球科技，并制造了一系列人类现有科学无法解释的“神迹”，导致理论物理学家纷纷崩溃自杀。

书中对杨冬（物理学家，《三体》第一部女主角叶文洁的女儿）的自杀原因，给了一些线索。

她死前留下一封遗书：“一切的一切都导向这样一个结果：物理学从来没有存在过，将来也不会存在。我知道自己这样做是不负责任的，但别无选择。”

因为物理学大厦的崩塌，她选择了自杀。

小说往往能浮现出现实的影子，事实上，科学研究一直在不断地经历各种理论危机。人类科学史的发展，就是基础理论一次次崩塌、再重建的过程。

比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击（也称第三次数学危机）。

罗素悖论

伯特兰·罗素（Bertrand Russell, 1872-1970），英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，他与怀特海合著的《数学原理》（The Principles of Mathematics, 1903）一书对哲学、数学和数理逻辑有着巨大的影响，使得他在学术上赢得了极其崇高的地位和荣誉。

在《数学原理》中，罗素阐释了一个集合论悖论，由于它只涉及集合论中最基础的东西，易于理解，因而在数学界广泛传播。

其基本思想如下：

在朴素的集合论中有这样一个假设：对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，可以组成一个集合。

比如，自然数集，再比如，所有的未成年人，等等。这个假设看起来很容易使人信服，但这种不受任何限制的建构集合的方式，就出现了问题。

如果我们问，一个元素的集合可以包括它自己吗？这个答案是肯定的。比如，一个集合由所有含无限多元素的集合组成，那这个集合中肯定包括它自己。

于是我们就可以把所有的集合分为两类：包括自己的集合和不包括自己的集合。

不妨设所有不包括自己的集合组成集合A：

如果集合A是自己的一个元素，那么集合A就不满足“不包括自己的集合”的定义，不应该出现在此集合中，矛盾；

如果集合A不是自己的元素，那么集合A就满足“不包括自己的集合”的定义，应该是此集合的元素之一，矛盾。

1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”：有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？

如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

了解了这个理发师的困惑，这不就是外国版的“自相矛盾”吗？其实，这个“理发师悖论”很容易解决，只需要修改一下理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外。然而，罗素悖论是由集合论的基本原理严格推导得来，就不是那么容易解决的了。

第三次数学危机

集合论的创建者是康托尔（Cantor, 1845-1918），当他29岁时，在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章，此后，他从事集合与超限数方面的研究长达20多年。

集合论是颠覆了很多前人的想法，因而很难为人所接受。比如权威克罗内克就曾攻击康托尔的理论长达十年以上，甚至康托尔自己也发现集合论中其实存在着漏洞无法解决，以至于一度精神崩溃，最终在精神病院逝世。

但是从整体上来看，康托尔的工作解决了很多长久未解决的问题，在分析学、拓扑学中起到了重要作用，并且集合论渗透到越来越多的数学领域，成为数学基础理论不可分割的一部分。

许多卓越的数学家深为这新的理论所起的作用而感动，希尔伯特（Hilbert）称“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去”。

然而好景不长，20世纪初，罗素悖论等一系列集合论悖论的发现，引起了人们对集合论，甚至是数学基础的讨论。正当数学家们不但接受了集合论而且还有大部分经典分析的时候，这些矛盾动摇了它们，使得数学家们对数学的整个基本结构的有效性产生了怀疑。

德国逻辑学家弗雷格（Frege）曾在自己的著作中写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成的时候却发现所干的工作的基础都崩溃了。”作为逻辑结构，数学已经处于一种悲惨的境地，数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。（Kline, 1972）

为了解决集合论的问题，数学家们目前的选择，是将集合论公理化。

策梅洛（Zermelo）、弗伦克尔（Fraenkel）、冯·诺伊曼（von Neumann）等人提出了一系列公理对集合的构造加以限制，从而排除了罗素悖论中集合的存在。

简而言之，这几位数学家的办法并不是“解决”，而是“避开”。他们通过各种手段，把所有涉及到罗素悖论的情况，都排除在外了。

目前，关于数学基础的各派思想依然层出不穷，至今没有形成一个在数学界被普遍接受的理论。

现实不是科幻小说，科学发展中出现的任何理论危机都意味着我们认识的不足，也激励着一代又一代的科学家们去探索、发现。因此，我们不必追求完美的理论，相反，真理的丧失、权威的崩塌才是学科发展前所未有的良机。

作者介绍：杨浩，新东方超尖生计划授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。新东方智慧学堂（zhihuixuetang_xdf），与精英为伍，成就未来精英。