求线段最大最小值问题方法（解决最值问题的利器）

解决最值问题的利器——垂线段最短

在八年级数学平行四边形这一章学习中，最值问题是个难点，在没有学习二次函数之前，围绕着“最”，通常需要两个几何定理，其一是两点之间，线段最短，其二是垂线段最短，还可以利用三角形三边数量关系进行，当然它本质上也是两点之间线段最短。

当然，这道题放在九年级复习，可解决的办法更多，但不推荐使用超前知识来解答，后面反思中会详细提到。那么首先我们来看一道八年级数学动点导致的面积最值问题。

题目

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，且A点在y轴正半轴上，C点在x轴上，D点是x轴正半轴上一个动点，OD长为2a，以OD为对角线作正方形OEDF，连接BD并取BD中点M，AM交x轴于N点.

(1)N点坐标是_____________(用含a的代数式表示)；

(2)求FN：EM的值；

(3)当△EMN面积最小时，求a的值.

解析：

(1)分析点N的形成，它是由AM延长后与x轴相交产生，因此观察点M，发现它是中点，于是很容易找到一对全等三角形，△ABM和△NDM，所以可以证明DN=AB=4，于是ON=2a-4，于是得到点N坐标为(2a-4,0)；

(2)在八年级阶段求线段比值，通常突破口不容易找到，但是题目条件中其实给了不少暗示，例如正方形，例如等腰三角形，咦？△EMN，是不是很像等腰三角形呢？

猜归猜，用数学推理说话才是正道，那咱们就上路吧！

以点E为旋转中心，EO=ED，那么EN的对应边又在哪里呢？不难想到连接AE，如下图：

由正方形OEDF得到EO=ED，∠OED=90°，由正方形OABC得到OA=AB，再用前一小题中的△ABM≌△DNM得到AB=DN，于是等量转换顺利得到OA=DN，再加上∠AOE=∠NDE=45°，用SAS判断△AOE≌△NDE，从而证明了AE=NE，∠AEO=∠NED，而∠NED ∠OEN=90°，于是∠AEO=∠OEN=90°，即∠AEN=90°，得到等腰Rt△AEN，前面也提到点M是中点，因此△EMN是等腰三角形，所以FN：EM=√2；

(3)这是本题重点也是难点，△EMN的面积随着点D带动点N变化而变化，但我们可以看到，△EMN本身是个特殊三角形，它的面积与其边长有关联，即面积最值可转化成线段最值问题，于是我们学过的两个定理：两点之间，线段最短和垂线段最短便能派上用场了。

到底该用哪个呢？

观察线段的变化，如果两个端点都在变化，其实是不利于观察的，在△EMN中，恰恰所有顶点都在变化，设置了障碍，但回到最初求N点坐标时的思路，观察线段AN，由于M是中点，所以MN的长度与AN的长度变化是同步的，对于线段AN来讲，端点A是确定的，点N又在x轴上，即线段一端固定，另一端在直线上，这不就是点到直线的距离最短的案例吗？

所以当AN⊥x轴时，AN最短，连带MN最短，得到△EMN面积最小。

结合前面的探究，AB=DN，而DN和DO重合，于是2a=4，求得a=2.

解题反思：

解完之后会感觉，这道题并不难嘛！的确，在想到思路之前，的确很难，想到之后，行云流水。

那么解题的思路究竟如何更有效率地寻找？答案只有一个，那就是审题，说起来简单，但做起来很难。学生平时学习，积累了大量解题经验，这些经验要用于某道具体题目，相当于大数据匹配，读题时，触发思维线，思维线织成网，最终网住结论这条鱼。

在实际教学中，我发现有学生提前学习了后面知识，例如用一次函数求解析式，再构造二次函数求最值，当然也很容易，坐标系内的问题，用解析法再容易不过。

只是解析法解此类题，容易上瘾，再也不会去思考几何直观，甚至再遇到这类几何问题，建系解决问题成为首选，这可不是八年级学习几何的目的！曾经在九年级复习课中，讲一道压轴题，有多种方法，几何法非常巧妙，也简单，但不少学生却执迷于解析法，虽然最终通过复杂的计算也能得到，但费时费力，更糟糕的是，他们在用解析法完成之后，对几何法的讲解不屑一顾，课堂上甚至开起了小差，因此不禁在想，超前学习到底是帮他们还是害他们？

我认为，每个阶段有每个阶段的教学目标，学生不宜超前学习，这次教育部出台规范培训机构的文件，也提到这一点，所以平时的学习，必须按部就班，遵照学生思维成长规律，不可拔苗助长。

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