函数折点与最值问题解题技巧（容易被忽略的数学定理）

有这么一个数学定理，虽然很直观，却偏偏容易被忽略。然而它却又是一个非常好用的定理。这个定理简单说起来，就一句话：函数唯一的极值是最值。

之所以容易被忽略，是因为当我们学到最值的一般判定方法时，教材上提供的方法是：通过比较端点、不可导点，稳定点的函数大小，来确定函数的最值。因此很多同学，包括老黄自己在内，一开始都会傻傻地按照这个信条去解决最值问题。

特别是自作聪明的老黄，会在开区间的端点上纠结极限问题。其实在函数只有一个极值点时，大可不必纠结端点的极限问题。

我们先来看看这个定理的数学表达形式，并进行证明：

5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.

若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点.

老黄觉得这里的“连续”，并不是一个必要条件。去掉“连续”的条件，命题仍是成立的。

证1：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，

则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点.

同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.

证2：若x0是f在I唯一的极(小)值点，却不是最小值点，

则必存在x1∈I，有f(x1)<f(x0)，矛盾！

∴x0是f在I上的最小值点. 同理可证：

若x0是f在I唯一的极大值点，则x0是f在I上的最大值点.

我们来看看这个定理到底怎么用。看下面的例题：

例：求函数y=根号x*lnx, (0, ∞)上的最值.

解：y在(0, ∞)上可导，【排除不可导点的存在】

当y’=(2 lnx)根号x/(2x)=0时，x=1/e^2，【唯一的稳定点】

又当0<x<1/e^2时，y'<0; 当x>1/e^2时，y'>0.【用极值的第一充分条件，证明x=1/e^2是函数的极小值点】

所以x=1/e^2是函数唯一的极值点，且是唯一的极小值点，

因此y=-2/e是函数的最小值。

又函数在开区间上，所以y在(0, ∞)上没有最大值。

观察一下函数在(0, ∞)上的大致图像，以帮助我们理解：

怎么样？现在您对求函数最值的方法，是否有更深的理解了呢？