几何求最值解析（几何最值问题的解法）

数学培优——几何最值问题的解法

在运动中求几何量最大值或最小值的问题是各类考试中常见的问题，如何解决这类问题呢？下面介绍几种解法：

一、利用图形的直观性

例1 如图1，将两张长为4，宽为L的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是____ ．

分析与解：要使菱形的周长最大，只需要使边长最大，因此，应最大限度利用矩形的长．从图形的直观性不难发现：当菱形的两个对角的顶点分别与矩形两个对角的顶点重合时，就是最大限度地利用了矩形的长，所得菱形的边长最大．此时易知图1－2中，

△ABC≌△EDC，所以AC＝CD，BC＝CE．

设BC＝x，则在RT△ABC中，AC＝AE－CE＝4－x，

根据勾股定理得：x²＝(4－x)²＋1，

解得x＝17/8，

所以菱形周长的最大值为4×17/8＝17/2．

友情提示：几何的最大特征与优点是直观，图形的直观性在解题中十分重要，细致观察图形，想象在运动变化中图形可能出现的情形往往能使问题的解决从“山穷水尽疑无路”困境中浮出，从而走向“柳暗花明又一村”，找到或者发现问题解决的契机与灵感．

二、利用两点之间线段最短

例2 如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一个点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）

A．130° B．120° C．110° D．100°

分析与解：欲求∠AMN＋∠ANM的度数，关键在于确定点M、N的位置．

由于M、N的位置使得△AMN周长最小，

即MA＋MN＋NA最小，

分别作点A关于BC的对称点E，点A关于CD的对称点F，

连接EF分别交BC于M，交CD于N．

则MA＝ME，NA＝NF，

从而△AMN的周长＝MA＋MN＋NA＝ME＋MN＋NF，

问题转化为：分别在BC、CD上确定点M、N，

使得ME＋MN＋NF最小．

由于E、F是定点，当M、N都在直线E、F上时，

ME＋MN＋NF＝EF为最小，

因此，连接EF，分别交BC、CD于M、N，

这就是M、N的位置．

此时，∠MAE＝∠E，∠NAF＝∠F，

所以∠AMN＝2∠E，∠ANM＝2∠F，

所以∠AMN＋∠ANM＝2（∠E＋∠F）

＝2（180°－∠BAD）

＝2（180°－120°）＝120°．

选B．

友情提示：分别在直线L1、L2上求一点P、Q，使得以P、Q和定点A为顶点的△APQ的周长PA＋QA＋PQ最小，其做法是：寻找或作出点A关于直线L1和L2的对称点A1和A2，连接A1A2，分别交直线L1、L2于点P、Q，则点P、Q就是所求作的点．

例3 如图3，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为_______.

分析与解：显然，A、B、C、D都是动点，直接考虑DO的长与已知矩形ABCD的边长的关系是不可能的．

由于矩形在运动过程中形状不变，所以AB总是等于2，

注意到∠AOB＝90°，故AB的中点到O的距离总是等于AB/2＝1，

因此，取AB的中点E，连结OE、DE、OD，

则OE＝1（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

由勾股定理，得DE＝√2，

从而DE＋EO＝√2＋1．

由于当D、E、O三点不在同一直线上时，总有DO＜DE＋OE，

故当D、E、O三点共线时，

OD＝OE＋DE为最大，等于√2＋1．

因此，当矩形运动到点D、AB的中点E和点O三点共线时，

点D到点O的距离最大，为√2＋1．

友情提示：对于任意三点A、B、C，总有AB≤BC＋CA，当A、B、C三点共线时，等号成立，AB取最大值．求动点到定点距离最大值问题往往就是根据这个原理．

三、利用垂线段最短

例4 以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是________．

分析与解：根据题意画出如图4，由题意，点A、B都是动点，

由勾股定理，得AB＝√(OA2 OB2)，

能否进一步转化呢？

考虑已知条件，由四边形CDEF为正方形，得

OC＝OD，∠OCA＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，

由∠AOB＝90°，得∠COA＝∠DOB，

所以△COA≌△DOB，

所以OA＝OB，△AOB为等腰直角三角形，

故可将AB进一步转化为AB＝√2OA，

问题转化为确定点A的位置，使得OA最小．

由于O是定点，A在定直线CD上，

所以当OA垂直于CD时，垂足就是点A的位置．

因此，作OA⊥CD于A，此时OA＝1，

从而AB＝√2，故线段AB的最小值为√2．

友情提示：直线上的动点到定点的距离最小值是该定点到该直线的垂线段长．

例5 如图5，正方形ABCD中，AB=1，P是AC上的动点，则PA PB PD的最小值是__________.

分析与解：显然，PB=PD，

所以PA PB PD

=PA 2PD=2(PA/2 PD)，

接下来设法将PA/2转化为一条新的线段.作∠CAE=30°，CE交BC于E，作PF⊥AE于F.

则PF=PA/2，于是

PA PB PD =2(PF PD)≥2DF.

所以当DF⊥AE时，PA PB PD=2DF最小.

在RT△ADF中，∠DFA=90°，∠DAF=75°，AD=1，

由sin75°=sin(30° 45°)

=sin30°cos45° cos30°sin45°

=(√2 √3)/4，

所以DF=ADsin75°=(√2 √3)/4.

友情提示：几何中的ax y（a为常数，x，y为图中的动线段）最小值问题的解法，关键在于寻找与ax相等的线段z，将问题转化为z y最小值问题.

四、利用平行距离最小

例6 已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3.

问题1：如图6-1，P为AB边上一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ、DC的长能否相等，为什么？

问题2：如图6-2，P为AB边上任意一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；

问题3：P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，以PE、PC为边做平行四边形PCQE，请探究对角线PQ，的长是否也存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；

问题4：如图6-3，P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝NPA,(N为常数)以PE、PB为边做平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？若果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

分析与解：问题1：假设对角线能相等，即PQ＝CD，

则四边形PCQD是矩形，

所以∠DPC＝90°，

因为AD＝1，AB＝2，BC＝3，

所以DC＝√[(3-1)2 22]＝2√2，

设PB＝x，则AP＝2－x，

在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，

即x2＋32＋（2－x）2＋1＝8，

化简得x2－2x＋3＝0，

因为△＝（－2）2－4×1×3＝－8＜0，

方程无实数根，所以对角线PQ、DC的长不可能相等；

问题2：显然，PQ的长与点P的位置有关，要判断PQ是否存在最小值，关键在于确定点Q在什么线上运动？

过点Q作BC的垂线L，交BC延长线于点H．

则L∥AB．因为AD∥BC，

所以∠ADC＝∠DCH，

即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，

因为PD∥CQ，所以∠PDC＝∠DCQ，

所以∠ADP＝∠QCH，又PD＝CQ，

所以RT△ADP≌RT△HCQ，

所以AD＝HC．

因为AD＝1，BC＝3，

所以BH＝4，

可见，直线L是定直线．由于点P、Q分别在距离为4个单位的两条平行线上运动，

所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，为4；

问题3：类似问题2的探索．如图/6-4，过Q作L⊥BC，垂足为H．

则L∥AB．设PQ与DC相交于点G．

仿照问题2可得∠ADP＝∠QCH，

所以RT△ADP∽RT△HCQ，

所以AD /GH=PD/CQ=1/2，

所以CH＝2，

所以L是定直线，BH＝BC＋CH＝3＋2＝5，

可见，点P、Q分别在距离为5个单位的两条平行线上运动，

所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，为5；

问题4：仿照问题3的探索，易知PQ存在最小值，最小值为√2(n＋4)/2．

友情提示：平行距离指的是平行线之间的距离，该距离是分别在两平行线上的动点之间距离的最小值．

五、利用二次函数的最值

例7 如图7，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于点E，设∠ABC＝α（60°≤α＜90°）．

（1）当＝60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，

①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．

分析与解：（1）因为△BCE是直角三角形，且α＝60°，BC＝10，

故由勾股定理和三角函数立得BE＝BC/2＝5，

从而CE＝√(102-52)＝5√3；

（2）先设存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF，再探索求k的值．

既然∠EFD是∠AEF的整数倍，先从∠EFD中割分出一个与∠AEF相等的角，

因此，作FM∥AB交BC于M，交CE于N，

则∠1＝∠AEF．

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以四边形ABMF是平行四边形，

所以BM＝AF＝5，从而MC＝FD＝5，

四边形MCDF是平行四边形，又DF＝DC，

所以四边形FMCD为菱形．

连接CF．则∠2＝∠3；

因为CE⊥AB，FM∥AB，M为BC的中点，

所以FM为EC的垂直平分线，

所以EF＝FC，∠2＝∠1，

所以∠EFD＝3∠1．

又∠AEF＝∠1，

所以∠EFD＝3∠AEF，故k＝3；

②欲求tan∠DCF的值，由于∠DCF ＝∠2，所以关键确定当CE2－CF2取最大值时，CN、FN的值．因此，问题转化为CN或FN究竟为何时，CE2－CF2取最大值？为解决这个问题，考虑建立CE2－CF2关于某个变量为自变量的二次函数，再由二次函数的最值确定自变量的值．

因为MN为△CEB的中位线，

所以BE＝2MN．设MN＝x，

则BE＝2 x，FN＝5－x；

在Rt△EBC中，

CE2＝BC2-BE2＝100－4x2；

在Rt△FNC中，

CF2＝FN2＋NC2＝(5-x)2＋25－x2＝50－10x．

所以CE2－CF2＝（100－4x2）－（50－10x）

＝－4x2＋10x＋50＝－4(x-5/4)2＋225/4，

故当CE2－CF2取最大值时，x＝5/4，

所以CN=√[25-(5/4)2]=5√15/4，

FN＝5－5/4＝15/4，

所以tan∠FCD＝TAN∠2＝5√15/4÷15/4＝√15/3．

友情提示：二次函数取最大值或最小值时，自变量的取值是唯一确定的，因此，由函数取最大值或最小值的情形同样可以确定自变量所对应的值．

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