用配方法求最值（怎样用配方法求极值）

我们通常把y=ax² bx c(a≠0)叫做变量x的二次函数。这个函数在直角坐标系上的图像是一条抛物线。

利用配方法，可以对函数y作以下变形：

凡是可以用二次函数来表示的实际问题，都可以运用上面的结论。

我们来看几道例题。

例1 用长度为m米的篱笆材料围成一个矩形场地，要使这块地的面积最大，应该如何确定边长？

这是一个二次函数。由于a=—1<0，所以y有最大值。运用上面的结论分析，可得

由此可知：

当矩形周长为定值时，以正方形的面积为最大。

例2 两数之和为16，问此两数取何值时，平方和最小？

解：设一个数为x，依题意另外一个数为16—x，设两数的平方和为y，可得

y=x² (16—x)²

去括号并整理，得

y=2x²—32x 256

用配方法求解，可得

y=2(x²—16x 128)

=2(x²—16x 64—64 128)

=2［(x²—16x 8²) 64］

=2［(x—8)² 64］

=2(x—8)² 128

显然，当(x—8)²=0时，y有最小值128，

∴x=8

当两数都是8时，平方和y有最小值128。

例3 一条直线上有相距100公里的A、B两点。甲车以每小时40公里的速度从A向B行驶，与此同时，乙车以每小时60公里的速度由B向C直线行驶（设∠ABC=120°）。问：经过多少时间后，甲与乙相距最短？

解：设经过x小时后，甲到达D，乙到达C，如下图所示，

∵∠ABC=120°，由余弦定理得

CD²=BD² BC²—2BD·BC·cos120°

=(100—40x)² (60x)² 2(100—40x)60x·0.5

=2800x²—2000x 10000

=400(7x²—5x 25)

图上的CD就是经过x小时后甲与乙的距离，而这个距离的平方是x的二次函数。显然，CD²与CD、7x²—5x 25同时取得极值。

由y=7x²—5x 25知a=7>0，因而

以上，介绍了配方法的重要应用：求二次函数的极值。求极值还有其它方法，例如判别式法，抛物线顶点法等，就不讲了，以免喧宾夺主，冲淡主题。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。