零点存在定理与数学文化结合（任意点与存在一点）

“任意点”与“存在一点”的代数理解（2020年深圳第23题）

当我们遇到0·x=0这样的等式时，第一个想到的是小学就学过的一句话“零乘任何数等于零”，然后用初中方程的理解方式，可理解为“x可取任意实数”，我们将方程进化至函数图象，则可理解为图象经过定点或不经过定点等等。

无论是哪一种情形，都需要对文字语言进行解读，用数学符号来描述，在解压轴题过程中，题目叙述中的每个字都需要认真读，只要审题用心，在寻找解题方法时遇到的阻碍就会少很多。

题目

如图1，抛物线y=ax² bx 3(a≠0)与x轴的交点A(-3，0)和B(1，0)，与y轴交于点C，顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动，记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系；

(3)如图2，过该抛物线上任意一点M(m,n)向直线l:y=9/2作垂线，垂足为E，试问在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=1/4？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：

(1)将点A和B坐标代入解析式，解一个二元一次方程组即可，结果为y=-x²-2x 3，或者利用交点式，设y=a(x 3)(x-1)，比较y=ax² bx 3，得-3a=3，于是求出a=-1，b=-2；

(2)重合部分面积，先要弄清楚重合部分是什么形状，再来看怎么求面积。

△O'B'C'从出发开始，就与四边形AOCD有部分重合，渐渐至完全没入，然后慢慢从四边形中出来，直到停止，从这个运动过程中，我们需要分段计算。

前期准备工作：平移过程中，O'(-t,0)，B'(1-t,0)，C'(-t,3)，直线AD的解析式可求，为y=2x 6，直线B'C'可表示出来，为y=-3x 3-3t；

第一个阶段，从开始到完全没入四边形

此时0≤t<1，如下图：

我们可发现，图中△OB'F∽△O'B'C'，而后者的面积是知道的，即△OBC的面积，是3/2，不妨用相似比来求面积，OB':O'B'=(1-t):1，相似三角形面积的比等于相似比的平方，于是可表示出△OB'F的面积为3/2(1-t)²，所以求出此时的S=3/2-3/2(1-t)²=-3/2t² 3t；

第二个阶段，完全没入四边形内

此时1≤t≤3/2，如下图：

当点C'到达边AD时，将y=3代入直线AD的解析式中，求得x=-3/2，即当t=3/2时抵达，此时重合部分面积S=3/2；

第三个阶段，部分移出四边形

随着t的增加，三角形部分移出四边形，直到停止，仍然有一部分在四边形内部，此时3/2<t≤3，如下图：

此时重合部分是一个四边形，新出现的点G和H坐标可表示出来，将x=-t代入AD的解析式得到G(-t,-2t 6)，联立直线AD和直线B'C'得到H点横坐标为-3/5t-3/5，它可用来表示△C'GH的高，我们可得到C'G=2t-3，△C'GH的高为2t/5-3/5，现在我们可以来表示重合部分面积了，S=3/2-1/2(2t-3)(2t/5-3/5)，整理后为S=-2t²/5 6t/5 3/5；

(3)点F在对称轴上，因此它的横坐标是-1，可设F(-1,f)，点M(m,n)中，n=-m²-2m 3，我们先表示出ME和MF

ME=9/2-n，MF=ME-1/4=17/4-n

由两点距离公式，我们有MF²=(m 1)² (n-f)²

推导如下：

这显然没法求解，两个参数m和f，又是高次多项式，此时我们需要再读一遍题目中的要求，对于任意一点M，存在一点F，即对于上式中的任意m值，存在一个f值满足它。

再联想到0·x=0相关的知识，我们整理上式，使其成为一个按m降幂排列的多项式，如下：

在上式中，我们可观察二次项系数，一次项系数，常数项中，均含4f-15，即当f=15/4时，无论m取何值，恒成立，所以存在点F(-1，15/4)；

而另一个比较取巧的方法就是，既然对于任意点M，存在一点F，不妨将点M取抛物线上的特殊点，而哪个点最特殊呢？顶点。

当点M取(-1,4)之后，我们也能很快求出F(-1,15/4)，只是这种方法需要再验证一下任意点M时，ME-MF=1/4；

解题反思

学生在解这道题时，可能遇到的最大困惑在于，面对一个含两个参数，又无法求解的多项式时，会有一点点懵，显然这类多项式并不是用来求解的，而是用于观察的，如何观察？就要看怎么理解任意点与存在一点。

而使用特殊值法，也是解决此类问题的捷径之一，既然题目中说了任意点，那当然也包括特殊点，利用特殊值求出结果，反过来再进行验证，是可行的。

当然，利用高中圆锥曲线焦点与准线求解也很容易。

函数问题的解决，原本也是数形结合的思想，任意点与任意值，存在一点与存在一个解，在本质上是相通的，在平时的教学中，并未涉及这么深，只能“点到即止”，而成功解出此题的学生，显然不会满足于课堂教学那点传授，需要更深入的理解，而压轴题，对平时爱钻研的学生，是福音。

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