极限求法基础知识(求极限最常见的三种错误求法)

有一些小伙伴学习求极限的方法之后,总会想到一些“聪明”的法子。但这些看似聪明的法子,其实却是错误的。老黄要利用一道求极限的例题,和大家唠唠求极限最常见的错误求法中的三种。

求lim(x→0)(xe^x-ln(1 x))/x^2 .

错误的解法: lim(x→0) (xe^x-ln(1 x))/x^2 =lim(x→0) (e^x/x-ln(1 x)/x^2 )

=lim(x→0) (e^x/x-1/x)=lim(x→0) (e^x-1)/x=lim(x→0)e^x=1.

极限求法基础知识(求极限最常见的三种错误求法)(1)

相信很多小伙伴都能看出,上面的解法是错误的,但具体错在哪里,恐怕能够明确错误原因的小伙伴就不多了。如果不能明确错误的原因,就有可能在其它地方,犯同样的错误哦。

(1)很明显的,在把分式拆分成两个分式的差的这一步就错了。分式并非不能拆成两个分式的和或差,只是拆分是有条件的。

将分式拆分成两个分式的和差,相当于将一个极限拆分成两个极限的和差,只有在两个极限都存在时,才能进行拆分。如果像这道题,拆分后两个极限都不存在,因为它们都是趋于无穷大的,那么拆分的结果就极有可能出错,也不是说,一定会出错,但不出错的概率是极低的,就算不出错,这样的做法也是不合理的。如果拆分后,一个极限存在,一个极限不存在,那就肯定会出错了。

(2)如果跳过中间步骤,由lim(x→0) (xe^x-ln(1 x))/x^2 =lim(x→0) (e^x-1)/x,可以看到,其中包含了一步“局部等阶无穷小替换”,这也是很多小伙伴容易出错的。局部等价无穷小替换也并非绝对不允许。只是那是要在对求极限的方法都通透的情况下,才可以运用的方法。其运用条件是非常苛刻的。一般的情况下,只有因式才能进行等阶无穷小替换。

最要命的是,上面这两种错误的方法,在某些特定的条件下,又是可以运用的,这更容易造成一些小伙伴们的错误运用。因为如果看到教材中有类似的应用,很多人就会误以为,这种运用是具有普遍性的。因此两种错误求法也就成了普遍存在的错误求法了。

下面我们来看这个极限的正确求法,同时指出求极限的第三种常见的错误求法。

极限求法基础知识(求极限最常见的三种错误求法)(2)

解: lim(x→0) (xe^x-ln(1 x))/x^2 =lim(x→0) ((1 x)e^x-1/(1 x))/2x【直接运用洛必达法则,虽然有点烦琐,但目前老黄没有找到更好的解法。有些小伙伴,可能会在这里部分代入x=0,比如,把1/(1 x)写成1。而这就是第三种常见的错误解法了】

=lim(x→0) ((2 x) e^x 1/(1 x)^2 )/2= 3/2. 【这个极限需要运用两次洛必达法则,然后得到一个在x=0连续的函数极限,这时就可以将x=0代入极限求得最后的结果了】

极限求法基础知识(求极限最常见的三种错误求法)(3)

综上,求极限最常见的三种错误解法包括:(1)随便拆分极限;(2)局部运用无穷小量等价替换;(3)部分代入自变量。平时在求极限时,可千万不要出现这些错误哦。

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