高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(1)

一、普通法

例1、求与两定点

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(2)

距离的比为1:2的点的轨迹方程。

分析:设动点为P,由题意

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(3)

,则依照点P在运动中所遵循的条件,可列出等量关系式。

解:设

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(4)

是所求轨迹上一点,依题意得

由两点间距离公式得:

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(5)

化简得:

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(6)

二、定义法

例2、点M到点F(4,0)的距离比它到直线

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(7)

的距离小1,求点M的轨迹方程。

分析:点M到点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1,意味着点M到点F(4,0)的距离与它到直线

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(8)

的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。

解:依题意,点M到点F(4,0)的距离与它到直线

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(9)

的距离相等。则点M的轨迹是以F(4,0)为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为

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三、坐标代换法

例3、抛物线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A、B两点,动点C在抛物线上,求△ABC重心P的轨迹方程。

分析:抛物线的焦点为

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(11)

。设△ABC重心P的坐标为

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(12)

,点C的坐标为

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(13)

解:因点是重心,则由分点坐标公式得:

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(14)

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(15)

由点

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(16)

在抛物线上,得:

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(17)

将代入并化简,得:

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(18)

四、参数法

例4、当参数m随意变化时,求抛物线

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(19)

的顶点的轨迹方程。

分析:把所求轨迹上的动点坐标x,y分别用已有的参数m来表示,然后消去参数m,便可得到动点的轨迹方程。

解:抛物线方程可化为

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(20)

它的顶点坐标为

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(21)

消去参数m得:

高中轨迹方程典型题(由已知条件求动点轨迹方程)(22)

故所求动点的轨迹方程为

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