欧拉公式的三角形式（虽然它们都被称为）

你好！

欧拉公式二世！

离过年回家的日子越来越近了，心里早已想起老妈做的饭菜，虽说很普通，但却很喜欢。再加上这几天广州又是刮风，又是下雨，超模君根本就没心思写文章，只想好好在被窝里睡一觉。

然而小天又来催稿了（

自从小天转正后，日子一天不如一天）

，看来还是要乖乖写文章。

那今天超模君就跟大家讲讲“欧拉公式”，被数学界誉为“数学中的天桥”的那条公式。

说起欧拉公式，应该有很多人知道：

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

在这里，我们把在复变函数中的欧拉公式称之为欧拉公式一世（至于为什么这么叫，都怪欧拉太厉害）。

原来，数学界的超级大牛欧拉除了在复变函数领域，发现了被数学界誉为“数学中的天桥”的公式，同时也在初等数论、三角形及拓扑学中发现一些极为价值的公式，然而数学界似乎没想到要区分不同领域欧拉的成就，将所有的公式都统称为“欧拉公式”，你说的“欧拉公式”不是我说的“欧拉公式”。

复变函数中的“欧拉公式”（欧拉公式一世）因为所包含元素的特异性，得到更多的关注，就连小天都知道念叨：数学界最美的公式就是欧拉公式。

当我把拓扑学中的“欧拉公式”（我们称之为欧拉公式二世）丢给小天时：什么呀？欧拉公式怎么可以长成这样？

小天：赶紧把我的最美公式还给我！！！

超模君（一脸嫌弃，在追求真理的路上总是会遇到一些xxx）：。。。

今天，超模君想要讲的故事主角，就是：欧拉公式二世。

在任何一个规则球面地图上，用 F记区域个数（通俗来讲就是面） ，V记顶点个数 ，E记边界个数（也就是边） ，则V- E F= 2，这就是欧拉定理 。

顶点的英文：Vertical。

棱（或边）的英文：Edge。

面的英文：Face。

真的，这也是欧拉公式。

虽然我们称之为欧拉公式，但第一个证明欧拉公式成立的却是Descartes（笛卡尔），而后才轮到欧拉。但第一个真正给出严格证明的则是20岁的柯西。

来自百度百科的证明过程：从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

抱歉，实在没法读懂百度百科的这段解释，如果有模友能解释清楚的记得留言，另外也去百度百科把这段内容修改一遍。

既然没办法像欧拉、柯西这般数学家那样去思考这个问题，不聪明的超模君只能按照最笨的方式，一个一个多面体来计算。

（脑子正在加载.gif）

是不是很惊喜，是不是很刺激，我们竟然推导出一个定理。

不过有个问题，为啥都是正多边形，别的难道不行吗？

行不行，我们试试再说，为了便于理解，超模君选择在立方体上加多一条线。

（这豆腐有点渣）

SURPRISE！在立方体的一个面上加上对角线，在增加线的同时，立方体的一个面也被一分为二，此时的欧拉公式依旧等于2，欧拉公式成立。

也就是欧拉公式对于立体图形都是成立的！

啪啪啪，此时小天向超模君丢出一个凹二十面体。

（可以发挥一下想象力）

其实这依旧是一个二十面体，在保持相同数量的面和边的同时，这个二十面体选择了将两个顶点合二为一。

SO SAD！也就是欧拉公式变成了：

V - E F = 1

难道欧拉公式错了？

是的，在发现到这个问题后，数学家们便引入了新的一个概念：欧拉特征χ（说实话，超模君也是第一次看到）。

F V -E = χ

此时的欧拉公式V-E F不仅可以等于2和1，也有可能等于其他值。

无奖问答：那你觉得莫比乌斯环的欧拉特征应该多少？

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