高三数学平面向量定理（平面向量基本定理）

平面向量基本定理—用长度，面积，和体积来分解向量

平面向量基本定理已说明，平面内任意两个不共线的非零向量作为基底，可以线性表示该平面内的所有向量；但并没有说明两个基底的系数应该是多少，我们通常都是根据平行四边形法则，分解向量，或者通过多次线性表示，不断推倒，来看另外一个思路，利用几何信息来线性表示向量！

平面向量基本定理已说明，平面内任意两个不共线的非零向量作为基底，可以线性表示该平面内的所有向量；但并没有说明两个基底的系数应该是多少；该结论启发我们，两个线性表示的系数，可以转换成三角形的面积比，将该系数赋予了几何意义！

总结一下：

一维，1个基底，用长度之比，确定线性表示系数

二维，2个基底，用面积之比，确定线性表示系数

三维，3个基底，用体积之比，确定线性表示系数

这个其实就是被大部分老师称为的“奔驰定理”（形似奔驰Logo），也就是说，平面内任意起点出发的三个不共线向量，线性相加可得到零向量，系数之比即三个三角形的面积之比！很多向量题目中给出三角形面积之比，也是基于该定理；同时，点P为平面内任意一点，当然也包括“四心”，所以也可以进一步推导出三角形四心的表示方法！

奔驰定理的证明方法不止这一种，只不过每个人认为的已知条件不一样，所以证明方法有多种！我的思路是先通过初中的平面几何知识，推倒“奔驰定理”，然后再帮助推导出三角形“四心”的向量表示方式！从一般到特殊，挺不错的思路！

接下来看证明过程，体会不同位置系数的特征

图示

证明过程

重心

外心

内心

垂心

很多时候，题目中会引入一个任意点P，其实它完全是打酱油的，通过减法运算可以让它消失，但你需要认识这种表示形式！

按照从一般到特殊的方式，我们通过奔驰定理依次推导证明出三角形四心的一类表示方法，思路看起来已经很清晰，也可以开始识记了！但是，毕竟这类表示形式（如下表），更应该体会的是，为什么一个向量为何可以用表格中的数乘关系来表示；也就是说，下表中的各式均可变形成另外一类形式（如表二），这类形式如果也能直接理解证明，最好不过！

接下来看证明过程，体会四个证明过程的相似性，以及是如何使用中点，角分线，外接圆，高线这些几何信息的！

以上四个证明过程，不管是哪种心，证明的出发点，都是按照平面向量基本定理，把一个向量分解到另外两个方向上；而且数乘的系数都是转化成了FA与FB之比，而FA与FB之比又可以转化成，点A和点B到CF的距离之比，这个比正是，S_B与S_A之比，又反推出了奔驰定理！

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