圆的最值问题归纳(圆的知识应用案例)
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轴承是工业设备中的一种常用零配件,滚动轴承是轴承中常见的一种,其几何模型中涉及到圆的有关知识。
建立轴承的几何模型
轴承是在两个同心圆组成的圆环中镶嵌入一定数目的滚珠。
为叙述方便,我们分别简称轴承外框、内框、滚珠为外圆、内圆、小圆。
为保证轴承有效的滚动,这三种圆应该有如下的位置关系:
1.外圆与小圆始终内切;
2.内圆与小圆始终外切;
3.小圆之间始终外切(理想状态);
4.内外圆始终同心。
设外圆的半径为R,内圆的半径为r1,小圆的半径为r2,小圆个数为n(正整数),小圆圆心组成的正n边形的中心角为θ(0°<θ<180°)。
不难发现,与上述四种位置关系对应的数量关系:
1.R=r1+2r2
2.θ=360°/n
3. sinθ/2=r2/(r1 r2)
问题来了!外圆半径R,内圆半径r1,小圆半径r2,小圆个数n,这四个量中,任意知道两个量,其他两个量是否确定?
【问题】若外内圆的半径R,r1任意给定(R>r1),是否存在一定数目的小圆符合条件?
由前面的关系式:
1。R= r1+2r2
2。sinθ/2=r2/(r1 r2)
3。n=360°/θ
知道
r2=(R-r1)/2,
0<sinθ/2=r2/(r1 r2)=(R-r1)/(R+r1)<1
θ=2arcsin((R-r1)/(R+r1))不一定被360°整除,
所以n=360°/θ不一定是整数。
结论1
若R,r1的取值不能保证n为一个大于等于3的正整数,则就不一定存在符合条件小圆。
按以上相同方法讨论,不难得到下列结论
结论2
若外圆的半径R,小圆半径r2任意给定(R>r2),不一定存在内圆和一定数目的小圆符合条件。
结论3
若内圆的半径r1,小圆半径r2任意给定,不一定存在外圆和一定数目的小圆符合条件。
【问题】若给定外圆的半径R和小圆的数目n,是否存在符合条件的内圆和小圆?
由前面的关系式:
1。R= r1+2r2
2。sinθ/2=r2/(r1 r2)
3。θ=360°/n
知道
1。θ=360°/n
2。sinθ/2=sin(180°/n)=r2/(r1 r2)
3。R= r1+2r2
联立解得
r2=Rsin(180°/n)/(1 sin(180°/n))
r1=R-2Rsin(180°/n)/(1 sin(180°/n))
=R(1-sin(180°/n))/(1 sin(180°/n))
结论4
若给定外圆的半径R和小圆的个数n,则一定存在符合条件的内圆和小圆。
按以上相同方法讨论,不难得到下列结论
结论5
若给定内圆的半径r1和小圆的个数n,则一定存在符合条件的外圆和小圆。
结论6
如果给定小圆的半径r2和小圆的个数n,则一定存在符合条件的外圆和内圆。
综上所述1。外圆、内圆、小圆的半径R、r1、r2三个量中,任意知道两个量,不一定存在符合条件的第三个圆;2。先给定小圆的个数n,再从R、r1、r2中的任意给定一个量,就一定存在符合条件的另外两个圆。
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