欧拉公式大全讲解（趣谈欧拉公式和阿拉伯数字）

趣谈欧拉公式和阿拉伯数字

（清风科普于2020年10月10日）

欧拉公式：e^iπ 1=0

是世界上最神奇最简洁最完美的数学公式，被美誉为上帝创造的宇宙第一公式，蕴含着一切数学真理和奥秘。欧拉的原式：

e^ix=cosx isinx…（1）

[isinx（磁场）和 cosx（电场）互相求导，得到对方的性质，是电磁波理论的重要基础。]欧拉原式中，x是实数，

当x=π时，代入（1）式得：

e^iπ=cosπ isinπ…（2）

e^iπ=-1 i·0

e^iπ 1=0…（3）欧拉公式的表达十分简洁，实际上简洁就是一种数学美，也是一种艺术美。简洁的背后往往包含着丰富的内涵。。。

举例说明：

中国古代“序数”的表达方式：

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

壹贰叁肆伍陆染捌玖拾

一二三四五六七八九十

英语的：ABCDEFGHIJK。。。

one、two、three、four。。。

罗马的 ：Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅻ Ⅸ Ⅹ

日语的：一つひとつ｜二つふたつ｜三つみっつ｜。。。全都繁死了！如果把它们限制于日常生活用语表达还行，但推广应用于加减乘除计算，显然太繁杂了，严重阻碍了数学向纵深层次拓宽和发展。

阿拉伯数字表达就很简洁：1234567890

不仅有利于加减乘除，而且有利于代数函数。还能应付复杂的对数指数和数列，甚至微分积分和导数，都可以得到最完美的表达效果。这为数学的无限纵深拓展创造了最有利的条件。所以1234567890把数学的简洁性和完美性推向了极致。阿拉伯数字，最早起源于古印度，表达方式为：123456789口。古印度与古阿拉伯表达方式高度吻合，唯一区别是“零”。古印度把零写成正方形“口“，古阿拉伯把零写成椭圆形“0”。由于古代伊斯兰教与印度教战争接触，使阿拉伯数字有机会传入古代阿拉伯。

后因十字军东征，又让阿拉伯数字传入中世纪欧洲，并在欧洲大陆上发酵数百年，才孕育成熟，诞生出近代数学和高等数学。通过数学又推动了近代物理学和化学的迅猛发展。所以清风有理由认为自然科学最高成就奖（诺贝尔奖的100倍），应该首先奖励给古印度人发明创造了阿拉伯数字123456789口。

我们常说古希腊数学成就很高，从严格意义上讲，指的是《欧几里得几何学》的命题论证。但在代数方面的成就却很薄弱，原因是阿拉伯数字始终没有机会传入古希腊。那么古希腊人是如何表达 “2008年” 的呢？答案是MMVIII，多别扭啊！

古希腊的毕达哥拉斯学派，代表了代数发展的最高成就。他认为数是万物本源。“Ⅰ” 是万物之母；“Ⅱ” 是对立和否定；“Ⅲ” 是万物的形体和形式；“Ⅳ” 是宇宙创造者的象征，代表公平正义；“Ⅴ” 是奇数和偶数，也代表婚姻；“Ⅵ” 是灵魂；“Ⅶ” 是机会；“Ⅷ” 是和谐，也代表爱情；“Ⅸ” 是理性和强大；“Ⅹ” 包容一切，代表完美。

毕达哥拉斯黄金分割法：a:b=<a b>:a

毕达哥拉斯论证勾股定理：a² b²=c²

通过综上所述：我们不得不惊叹古印度人的伟大，他们把数字 “123456789口” 的简洁性和完美性推向了极致，然后再传播给古阿拉伯人。

欧拉公式也是如此，它把数学的简洁性和完美性推向了极致。欧拉公式体现了 “五元聚会” ，它把数学里面最常用的五个元素，有机地巧妙地整合到一个数学公式里。这五要素是：自然底数e，虚数单位i，圆周率π，还有两个最基础的数量单位0和1。

（1）0和1，从哲学角度代表了“无”和“有”。从玄学角度代表了“阴”和“阳”。从计算机逻辑运算，代表了二进制的“开”和“关”。从神经生理学代表了“抑制”与“兴奋”，是人类逻辑思维和丰富想象力的基础。

（2）i是虚数单位：z=a bi

其中a、b为实数，a为实部，bi为虚部，i是虚数单位。当bi≠0，而a=0时，z是纯虚数。

i¹=1，i²=-1，i³=-1，i⁴=1，i⁵=1，i⁶=-1…

（3）圆周率π，是圆周长度与直径长度之比，用希腊字母π来表示，是一个无限不循环小数，而且与e同属于超越数，其数值为：

π=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679（小数点后保留100位）。

圆周率常用值π=3.14159

（谐音：山顶一寺一壶酒）

圆周率最早出现于公元前1900年至1600年的一块古巴比伦石匾： 25/8 = 3.125。

古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年)，开创了人类历史上通过理论计算圆周率的先河。他得出π=3.141851 的近似值。

公元263年南北朝数学家祖冲之，算出3.1415926＜π＜3.1415927的精确值。祖冲之计算出来的π值精度，保持世界纪录整整800年，很了不起！

到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，刷新了人工计算圆周率世界最高纪录。

2011年10月16日，日本近藤茂利用自家电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他本人创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。

（4）自然常数e，也是一个无限不循环小数，而且与π同属于超越数，其数值为：

e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274（小数点后保留100位）。

e的定义：e^(iθ)=cosθ isinθ

自然常数，为什么不用abcd，而偏偏用e？因为e是自然对数函数的底数，又被称为欧拉数（Euler number）。欧拉（Euler）的第一个字母是e，所以自然常数用e，也是为了纪念瑞士伟大的数学家欧拉而命名的。再则，e是自然对数的底数，换句话说，自然对数是以e为底的对数函数。e作为指数（eonential）的第一个字母也是e。

自从1727年欧拉开始用e以后，人们对e不再陌生，e变得很常用，终于成为数学的一个稳定标准。但在这时间节点之前，e的表达方式有人用b，有人用c，的确十分混乱。

数学中的超越数，只有自然常数(e)和圆周率(π)。圆周率π，从古代中国、古希腊和古印度开始，名气如日升天，就已经非常非常之大。而自然常数e，在日常生活中不常用，知名度自然就很小很小。

其实，自然常数e在自然科学上有着广泛应用，主要表现以下几个方面：

①e对自然数的特殊意义：自然数是指x≥0的正整数。x=2n的偶数，存在以e为中心的共轭奇数组。每一组的和均为2n，而且至少存在一组是共轭素数。可以说e是素数的中心轴，而且只是奇数的中心轴。

在电路设计计算中，有很多公式都有EXP(N)或者ln(N)的计算，而这都与自然常数e 有关联。所以e被冠以最完美的 “自然数” 等美誉。

②素数定理：设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数。当x较小时，结果不是太正确；当x→∞时，这个定理会越来越精确。

③完全率：设完全图内的路径总数为W，哈密顿路总数为h，则W/h=e，这规律被称为完全率。它与圆周率π有一定的相似性：极限完全图好似图中的圆形，哈密顿路好似圆的直径。自然常数的含义是极限完全图里的路径总数和哈密顿路总数之比。

④双曲函数：双曲函数是自然常数e价值的重要体现。它可以解决很多实际问题，例如阻力落体、粒子运动等。（相当复杂，不展开讨论）。

⑤等角螺线（鹦鹉螺螺线）：等角螺线在极坐标系(r, θ)中，这条曲线可以写为：

r=a e^(bθ) 或 θ=ln(r/a)/b

因此也叫对数螺线，可以做为破解银河系涡旋运动的金钥匙。

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