正方形内两条互相垂直的线段（探究正方形网格中互相垂直的两条直线）

2020年天津中考数学第18题改编（预备）题3，正方形网格中互相垂直的两条直线（非网格线）

例1

如图，点A，B都是正方形网格上的格点，请用没有刻度的直尺画出过点A且与AB垂直的直线，并简要说明理由．

思路提示

如答图1，取格点C，则直线AC就是所求的．

证明

取格点D，E，作三角形ACD和ABE．

易证△ACD≌△BAE．

利用对应角相等，通过等量代换等步骤，进一步可以证明∠ACB＝90º，即AC⊥AB．

(注：也可以连接BC，先利用勾股定理求出△ABC的三边长，再利用勾股定理的逆定理证明∠CAB是直角．)

考点

三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，等量代换，平角， 勾股定理，勾股定理的逆定理．

感悟

这道题看似简单，但是牵涉到很多知识点．

如果你暂时还不能跻身学霸，建议不一定要天天挑战“高大上”的难题，也不一定要“刷”很多题，弄懂一道“有用题”胜过似懂非懂作十道、百道“无用题”．

例2

如图，△ABC的顶点A，B，C均落在正方形网格的格点上，请用无刻度的直尺，画出BC边上的高，并简要说明画法及理由．

思路1

如答图2，取格点E，画出直角三角形BEC（粉红色）．

再取格点F，G，画出直角三角形AFG（绿色），AF与BC交于点D．

由选取格点的位置，可得△AFG≌△CBE．（为什么？）

∴∠AFG＝∠CBE．

∵∠CBE＋∠BCE＝90º，

∴∠AFG＋∠BCE＝90º．

∴∠FDC＝90º（两个锐角互余的三角形是直角三角形），

即AF⊥BC．

∴线段AD就是BC边上的高．

思路2

如答图3，

取格点E，连接BE，可证∠EBC＝90º（理由可见例1）．

取格点G，连接EG，AG，由平移的相关知识，可得AG∥BE．

设AG与BC交于点D，则AD是BC边上的高．

例3

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C落在格点上，点B在网格线上，

若BD是AC边上的高，试用无刻度的直尺求点B关于AC的对称点B′．

温馨提示

本题有一定的挑战性，要不要自己先动手试一试，过一会儿再看答案？

下面先把答案（画法）告诉你，或者你自己能够明白其中的道理．

画法

如答图1，

取格点G，H，连接GH．

连接BD并延长，交GH于点B′．

则点B′与点B关于AC对称．

证明

如答图2，取格点F，连接BF．

利用格点的特定位置，借助网格，可以证明GH∥AC∥BF，同时还可以得到，BF与AC的距离等于AC与GH的距离．

点击此处，了解证明的详细过程！

∵BB′⊥AC，且DB＝DB′，

∴点B′与点B关于AC对称．

温馨提示

2020年天津中考数学第18题，已经陆续推出出3道预备题，近期将推出原题评讲，敬请关注！

谢谢！

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