怎么证明单摆简谐运动（简谐运动之三单摆）

单摆是简谐运动一个非常经典的模型，今天我们就来看一看这个模型，这个模型也是在简谐运动当中考察最多的一个模型。

理想的单摆由一个质点和一个质量不计的细绳（或细杆）组成。绳的一头连接质点，另一头固定不动。我们来对单摆做受力分析。如图 1 ，

令质点质量为m，受重力大小为mg，受绳的拉力大小为T。将重力沿与绳平行的方向和垂直的方向正交分解，分力大小分别为mgcosθ和mgsinθ。由于绳的限制，质点只允许做圆周运动，所以绳的拉力与重力平行绳的分量必然提供质点的向心力。T−mgcosθ=ma(1)对于变速圆周运动，向心加速度仍然可以用a=v²/L，其中L 是绳长即圆的半径。而mgsinθ充当回复力，在θ＜10度的情况下，圆弧可以近似为线段，所以sinθ≈tanθ≈x/L，所以回复力F=mgx/L，即简谐运动定义中的常数k等于mg/L，代入简谐运动的周期公式，我们就可以知道单摆的周期公式T=2π根号下L/g。

综合上面的分析，我们要注意以下三点

一是小球的回复力是由重力的分力再充当，这是一个考点，希望大家注意。

二是单摆的摆长短，周期不一定小。周期公式已经告诉我们，单摆振动的周期不但与摆长有关，而且还与单摆所在处重力加速度有关。那么当把摆长较短的单摆放在加速下降的升降机中时，由于单摆处于失重状态，故单摆振动的周期也可以比放在地面上悬点加速度为零的摆长较长的单摆振动周期大，当单摆处于完全失重状态时，单摆振动周期为无穷大，单摆处于停振状态。

三是单摆摆球处在平衡位置时摆线不一定在竖直方向。单摆摆球的平衡位置处在悬点正下方的条件是摆球悬点的加速度为零或有加速度但加速度在竖直方向，否则摆球的平衡位置就不在摆球悬点的正下方。例如，单摆悬挂在水平方向加速运动的小车中，摆球处在平衡位置时，悬线就不在竖直方向，且小车的加速度越大，摆球在平衡位置时悬线与竖直方向的夹角也越大。

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