数学平面解析几何大体内容（几何原本-平面几何基础）

上篇文章我对《几何原本》全书13卷内容进行了大致介绍。从本章起，我将带着大家正式学习几何原本。这一讲，我们从“第1卷-平面几何基础”的定义、公设、公理开始讲起。

一、定义。

《几何原本》每卷开篇先摆出定义，然后提出命题，接着去证明。

本卷也是同样的风格，作者在开篇23条定义中，对点、线、面、角、圆、直径、三角形、正方形等概念进行了定义。

定义的好处是，后续要描述一个概念时，无需用一堆话再进行描述，只须引用点、线、角等概念就行，描述命题也会很简洁很多。

23条定义：

1、点不可再分割。 2、线只有长度而没有宽度。

3、线的两端是点。 4、直线是它上面的线一样地平铺的线。

5、面只有长度和宽度。 6、面的边是线。

7、平面是它上面的线一样地平铺的线。

8、平面角是在一个平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。

9、当含有角的两条线成一条直线时，这个角称为平角。

10、当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。

11、当一个角大于直角时，该角为钝角。 12、当一个角小于直角时，该角为锐角。

13、边界是物体的边缘。 14、图形是由一个边界或几个边界所围成的。

15、圆是由一条线围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接的所有线段都相等。

16、而且把这个点叫做圆心。

17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆周截得的线段，且把圆二等分。

18、半圆是直径和由它截得的圆周所围成的图形，而且半圆的心和圆心相同。

19、直线形是由直线所围成的，三边形是由三条直线围成的，四边形是由四条直线围成的，多边形是由四条以上直线围成的。

20、在三边形中，三条边相等的，叫做等边三角形；只有两条边相等的，叫做等腰三角形；各边不等的，叫做不等边三角形。

21、此外，在三边形中，有一个角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。

22、在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四边不全相等的，叫做长方形；四边相等，但角不是直角的，叫做菱形；对角相等且对边也相等，但边不全相等且角不是直角的，叫做平行四边形；其余四边形叫做不规则四边形。

23、平行直线是在同一个平面内的一些直线，向两个方向无限延伸，在不论哪个方向他们都不相交。

二、公设。

《几何原本》中未给出定义、公设、公理的证明，作者直接默认它们准确且无需证明。并且本书所有的命题都是由这些定义、公设、公理推导出来的。

5条公设：

公设1：过任意两点可以作一条直线。

公设2：一条有限直线可以继续延长。

公设3：以任意点为圆心，任意长为半径，可以画圆。

公设4：凡直角都彼此相等。

公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直角和，则这两条直线经无限延长后，在这一侧相交。

三、公理。

公理1：等于同量的量彼此相等。

公理2：等量加等量，其和仍相等。

公理3：等量减等量，其差仍相等。

公理4：彼此能够重合的物体是全等的。

公理5：整体大于部分。

四、平行线永不相交？

以上23条定义、5条公设、5条公理中，最特别的莫过于平行线的定义。

平行直线是在同一个平面内的一些直线，向两个方向无限延伸，在不论哪个方向他们都不相交。（定义23）

同平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直角和，则这两条直线经无限延长后，在这一侧相交。（公设5）

初中教材给出的平行线定义是：

给出一条直线及不在这条直线上的一个点，至多可以画一条直线通过已知点并且平行于这条直线。

初中教材中关于平行线的定义，是由苏格兰数学家普莱费尔于1795年提出，与定义23、公设5中描述的平行线是等价的。相比较而言，初中教材中有关平行线的定义，更容易理解些。

根据爱因斯坦《广义相对论》的理论，我们知道时空是弯曲的，也就是说宇宙中不存在直线，那么欧几里得建立在定义、公设与公理上的几何学就只是近似正确。不过实际生活中并不影响我们使用《几何原本》中的结论，就像牛顿的理论，也被《广义相对论》推翻了，但在地球这样有限尺寸的时空下，影响几乎可以忽略。

霍金在《上帝创造整数》一书中认为，古希腊人之所以提出平行线永不相交，是因为如果没有平行线定义，绝大多数的几何命题就无法证明，包括大名鼎鼎的勾股定理。

好了，说了这么多，接下来，让我们进入到第1个命题的证明。

命题1：在一个已知有限直线上可以作一个等边三角形。

这里简单提一句，《几何原本》中作图所能用到的工具，只有圆规与直尺，不能使用量角器。

AB为已知给定的线段

证明：

已知给定线段为AB，目标：在线段AB上作等边三角形。

①以点A为圆心，线段AB长为半径作圆BCD。

（依据公设3）

②再以点B为圆心，线段BA长为半径作圆ACE。（依据公设3）

③从两圆交点C，作线段CA、CB。（依据公设1）

④因为点A是圆CDB的圆心，所以AC=AB。（依据定义15）

⑤同理，因为点B是圆ACE的圆心，所以BC=BA。（依据定义15）

⑥因为AB=AC，AB=BC，所以AC=BC=AB。（依据公理1）

因此，三角形ABC是等边三角形。且是在给定线段AB上作出来的。

证明完毕。

上面的证明过程，无可挑剔。从中我们可以看出欧几里得的证明方法，那就是每一条结论都必须依据定义、公设、公理得出。

好了，今天的讲解就到这里了。

后面我带着大家继续讲解命题2-命题48。

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