体现1到5数字的事物绘画（用绘画表达伯恩赛德定理）

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文的主题是艺术家James Mai的创作过程，以及在《排列：星体》和《排列：人间》(以下简称星体和人间)中对数学的探索。虽然这些画可以用数学来解释，但艺术家的构思和执行却不是严格的数学；视觉美学和隐喻参照的考虑与逻辑关系相结合。创造过程通常是一个迂回的过程，因为艺术家需要通过图表来理解视觉上不同的图形，而不需要借助数学抽象。

Daylene Zielinski提供的使用伯恩赛德定理的数学分析展示了一种有序的方法，可以在这种类型的艺术研究中实施。这个有用的定理可以预先告诉艺术家，他将发现多少不同的形式。然而，重要的是要注意，伯恩赛德定理并没有说这些形式会是什么样子，或者如何找到它们；它只预测视觉上不同的图形的最终数量，这些图形可以在艺术家确定的一套规则下创建。

1. 介绍

艺术家詹姆斯·麦(James Mai)最看重的是作品的完整性。对于Mai来说，这种完整性的价值在本质上既是美学的也是数学的，因为隐喻意义的种子是在数学关系本身中进行的。艺术家提出了一种矛盾的可能性，即一件艺术作品只有在作为一个完整的整体实现“封闭”时，才可能“打开”联想和隐喻。这些价值观促使艺术家在绘画中进行置换的研究，星光和尘世(图1a和1b)。虽然程序很大程度上是直观和归纳的，但每幅画的目的是在一个变量系统中可视化所有独特的形状。在这些绘画的发展过程中，艺术家不知道伯恩赛德定理，这是一个独特的定位，有助于这样的艺术研究，视觉系统是由一个排列结构驱动的，目标是所有可能图形的完整集合。

图1a：《排列：星体》，42 x 42”(正方形)，丙烯帆布画。

图1b：《排列：人间》，42 x 42英寸(正方形)，丙烯帆布画。

“星体”和“人间”的最初阶段是通过在图表纸上用铅笔勾画的开放式游戏发展起来的，目的是寻找几何特征允许系统变化的形状。这一阶段寻求定义形状的那些基本特征，通过排列，将产生一系列新的和独特的形状。在定义了排列特征，寻找了完整的形式系列之后，Mai寻找开始时的无限制游戏的结束。我们的目标是建立一个客观相关的形状系列，它们的特征和关系对独立的观察者来说是连贯的和自我揭示的。

虽然星体和人间是同时发展的，但它们最初被认为并不是彼此相关的。最终，每幅画的发展过程中涉及的排列过程揭示了它们的相似之处，并将它们结合在一起成为一对。从那时起，他们逐渐变得相似，并相互定义。正如我们将看到的，这在很大程度上是因为它们都是伯恩赛德定理的表达式；然而，首先，我们将检查每幅画的排列性质。

2. 排列

Astral解决了以下问题:给定一个六边形的顶点阵列和所有可能的连接它们的边，有多少视觉上不同的迂回路径恰好访问每个顶点一次(除了开始/结束顶点)?请注意，我们将丢弃任何仅仅是另一个形状的反射或旋转版本的形状作为冗余。在最初的创造性实验之后，Mai设计了一种符号简写法，将数字赋给顶点，以计算出不同的形状。这就是排列进入画面的地方。以下是创造性过程的精简版本。

我们从图2a中的图开始。因为每条路径都会经过每个顶点，所以我们将选择所有路径从1开始。现在，任何路径都可以通过从1开始的数字1到6的排列来命名。路径1、3、2、4、6、5如图2B所示。数字1到6有720个排列，但是因为我们总是从一个开始，所以我们实际上只排列了剩下的五个数字。这将排列的数量减少到120个。由于顺时针或逆时针绘制的路径相同，所以排列1、a、b、c、d、e和1、e、d、c、b、a将产生相同的路径。现在我们只有60种排列可供研究。

图2a：六个顶点和所有可能的边

图2b：路径1、3、2、4、6、5

类似的方法也被用于《人间》。这项调查从一组半圆形和圆形的组合形式(图3a和3c)发展而来，50年前由俄勒冈、匹兹堡和怀俄明大学的Victor Flach设计，作为“高效的小图形组合计数装置”，用于他的四元研究和组合：1、2、3、4的顺序组合家庭分组;1、2、4、3;1、3、2、4(包括每组的“图案图像名称、叶、蝙蝠、鸟”，如图3b所示)。Mai使用图3c中的圆形为他扩展研究的上、下半圆形路径和《人间》上的18个数字的矩阵。

图3a：半圆形。

图3b：Flach的图形图像名称。

图3c：圆形

这一次，我们不仅要处理数字1到4的排列，而且还要处理连接每对顶点时采用上路径还是下路径的选择。再次，我们将人为简化艺术家的创作过程。然后我们将指出上半圆u和下半圆d的数量。所以，我们开始发现问题的数量配置四个符号的集合{1 u, 1 d, 2 u, 2 d, 3 u, 3 d、4 u, 4 d}我们总是先1u的限制或1d和必须包括每一个成对{2 u, 2 d},{3u, 3d}和{4u, 4d}。因此，我们为第一个符号提供了两个选项，为第二个符号提供了六个选项，为第三个符号提供了四个选项，为第四个符号提供了两个选项。这就是2 x 6 x 4 x 2，或96，排列。然而，我们再次看到，在开始时，将跟随1u或1d的三个符号的顺序颠倒会产生相同的路径。因此，我们要规定，在任何排列中，第二个符号中的数字都比第四个符号中的数字小。所以我们只剩下48个配置要调查。有趣的是，每当4u或4d结束一个配置时，我们创建一个具有自然补体的图形，如图4a所示；但是，并不是所有的图形都具有自然的补足，如图4b所示。

图4a:图1d、2u、3u、4u和1d、2u、3u、4d

图4b:图1u、2u、4d、3d

3：伯恩赛德定理

在这两幅画的准备工作中，Mai 在象征和视觉化之间来回工作，但由于没有一个可管理的系统方法，他开始担心自己可能无法识别一组数字是否完整。他预计他对符号化和视觉化的试错方法会产生许多冗余，他认识到这些冗余会从对称中出现，如旋转和反射。这就是伯恩赛德定理可以缩短这一过程，并为任何使用旨在生成一组独特图形的置换系统的艺术家带来可预测结果的地方。

每当我们面临从某种父形式(如图2a和图3c)的一组特定类型的变体中找出不同形状的数目的任务时，我们可以应用伯恩赛德定理。为了让它的声明清楚，我们需要一些初步的定义。每个几何形状都有一组对称。这些是固定体形的反射和旋转。换句话说，如果原来的图形被它的一个对称性反射或旋转，我们就看不出有什么不同。例如，图3c中的Mai形式的对称组是相对简单的。它由一个垂直反射、一个水平反射、一个180‘旋转和单位对称性组成，可以认为是O’旋转。这些对称性如图5所示。

图5：图3c的两个反射和180°旋转对称

每一种对称都会留下一定数量(有时为零)的个体形状不变，就像它保持父形状不变一样。例如，180°的旋转不仅使图3c中的父元素不变，而且使图4b中的形状也不变。每一种对称保持不变的一组独立形状被称为该对称的固定。我们用小写的希腊字母来命名这些对称。用这个符号，一个特定对称φ的固定值是fix(φ)， |fix(φ)|表示该对称固定的形状的数量。我们称父图形的对称群为G，设|G|表示G中的对称数，包括恒等对称。有了这个，我们现在可以提出伯恩赛德定理。

如果G是父形式S的对称的有限群，则S的形状族中视觉上不同的图形的数目由下式给出：

其中，群G中的每个对称都取这个和。

换句话说，我们所要做的就是找出我们系列中的形状有多少是由母体的每个对称性所固定的。将这些数量相加，然后除以母体的对称性数量。有兴趣的读者可以在Joseph Gallian的最新版《当代抽象代数》中找到关于伯恩赛德定理的证明和直观的讨论。

其中两个对称性很容易处理。显然，本体对称，我们称之为 "Ro"，它使所有的回路都固定下来，因为它没有移动任何东西。接下来，我们将处理水平反射，我们称之为H。这个对称没有留下任何回路的固定，因为没有半圆和它的水平反射出现在同一个回路中。

为了讨论180°旋转(我们称之为R180 ),我们需要注意，如果一个回路包含连接1到4的最大半圆，那么它不会被R180固定。因此，RI80可以固定的唯一回路从1开始移动到2，然后到4，然后到3，再回到1，因为如果3在最后一个符号中，我们不能在第二个符号中有4。R180确定此类路径的唯一方式是，无论u或d中的哪一个出现在第一个符号中，它的反义词都会出现在第三个符号中，第二个和第四个符号也会出现同样的情况，因为这些弧对不仅会相互交换位置，还会颠倒上/下方向。这仅给出了回路1u、2u、4d、3d；1u、2d、4d、3u；1d、2u、4u、3d；和1d、2d、4u、3u。因此，Rl80只限定了48种排列中的4种。

垂直反射，我们称之为V，需要更多的思考。我们将把我们的处理分为4是最后一个符号中的数字和3是最后一个符号中的数字的情况。如果4是最后一个符号中的数字，则连接1和4的弧在回路中，连接2和3的弧也在回路中。所有这些弧都由v固定。因此，我们只需确保图中剩余的两个弧要么都向上，要么都向下，因为它们在垂直反射下会彼此交换位置。因此，无论u或d中的哪一个出现在第一个符号中，都必须出现在第三个符号中。因此，我们可以选择1 u或1 d作为第二个符号，选择2u、2d、3u或3d作为第二个符号，不能选择第三个符号，因为第二个符号中未使用的数字2或3必须在第三个符号中，并且u或d必须与第一个符号匹配，最后选择4u或4d作为最后一个符号。也就是2 x 4 x 1 x 2，即16个以V固定的4结尾的回路。如果最后一个符号中的数字是3，则回路中没有一个单独的弧是由V固定的，但有两对弧交换了位置。所以如果u和d在第一个和第三个，第二个和第四个符号中一致，回路将由v固定，这是四个额外的回路。因此，V限定了48种排列中的20种。

现在我们准备应用伯恩赛德定理。通过图3c的视觉上不同的回路的数量是Y4(| fix(Ro)| | fix(H)| | fix(R180)| | fix(v)|)= 1/4(48 0 4 20)= 18。所有18个这些数字可以看到配置在人间的父母数字。可以对星体进行类似的计算，但是由于它的母体图形的对称群包含16个对称，这种计算在本文中将占用太多的空间。不是特别费力，只是很详细。

4：美学问题。

当艺术家有了一整套视觉上截然不同的图形之后，他就可以把所有的精力都放在审美上了。麦的意图是超越对排列过程的说明或演示，实现某种程度的审美整体性和隐喻联想。创作过程只完成了一半，麦的下一步是打造合适的构图和色彩组织。

Mai使用颜色来加强和编码每个排列集中的分组。在星体中，十二个不同的图形排列。根据原始六边形环上现存的边数，将它们各自分组：一个形状有六条外边；两条边有四条边；三条边有三条边；三条边有两条边；两条边有一条边；以及一个形状没有任何外边(这些组请参见图6a)。每一组在画中用不同的颜色表示。在人间上，视觉上最重要的分组是12个具有自然补充性的形状和6个没有自然补充性的形状(关于这些组，请参见图6b)。互补色对由互补色表示。虽然Mai认为颜色·可以澄清其中的一些关系，但他预计构图组织将在承认分组和互补关系方面发挥更重要的作用。

每幅画都有多种构图的可能性。因为在每一组排列中，视觉上不同的图形的数目，十二个是星体的，十八个是人间的，可以被六整除，所以可以采用六边形排列。另一方面，由于每一组图形都有一个母形，它可以被看作是一个原点或矩阵，所有的变化都是从这个原点或矩阵开始的，所以这个母形可以被用作一个圆形构图的中心。当然，人间是与一个圆联系在一起的，因为它的母体形式。使情况进一步复杂化的是六边形或圆形排列中的图形的不同可能取向。可以排列每组的各个图形，使得每个图形都有一条对称线朝向中心的父图形。创建放射状组织；可选地，每组可以排列成使得图形的对称轴垂直或水平取向，产生平行的组织(例如，图6a和6b)。艺术家的问题是没有明确的选择出现在这些选项中。

图6a：根据外部边缘的数量对星体的不同图形进行分组。

图6b：《人间》的六个互补对和六个独特图形的分组。

象征性的内容，或主题，在这个阶段开始出现，并为构图问题提供了一个解决方案。对艺术家来说，六边形的图形暗示了类似星星的物体或星座，因为连接顶点的直边和这组图形中几个图形的突出棱角，而半圆形的图形似乎类似于生物，如鸟、贝壳、鱼和蠕虫。这些画通过相互对比来定义彼此，这种对比随后为构图问题提供了答案。作为类似星座的形式，星体的形状围绕中心呈放射状排列，承认天空的全方位秩序。人间上动物般的形式呈现出垂直-水平的方向，由此水平轴将向上和向下的半圆分开，承认了人间领域的地平线，反射对称线垂直定向，以唤起重力的垂直拉力。此外，人间上的18个图形被分组和排列，这样较小，较轻的形状占据了构图的顶部，较大，较重的形状占据了底部，暗示了居住在空气，土地和水中的动物的动物园。在该有机排列中，12个自然互补序列中的10个垂直排列，2个水平排列。

在这种具象的解释下，Mai为每幅画赋予了适合其主题的不同色温。星体的黄色领域中的浅色和明亮的颜色暗示着阳光下的天空，一个光明和温暖的领域；人间的蓝色领域中的深色和有点暗淡的颜色暗示着水和陆地的阴暗和冷酷的世界，一个进化活动的领域。在 "大地 "中，每个元素的颜色都不一样，上层形式的颜色较暖，暗示着较轻的、活跃的、生于空气的生物，下层形式的颜色较冷，让人想起较重的、较慢的、居住在陆地或水中的生物。星体的黄色大圆圈暗示了天空穹顶的广阔和连续的地平线；人间的相应蓝色圆圈暗示了漂浮在苍穹中的独立的生命形式和过程的星球。

5:结论

重要的是要记住，星体和人间的绘画都是非客观的。画中没有直接描绘的题材，无论是星座还是动物。Mai的策略是让比喻性的参考自然地从几何开始的结构中出现，并通过颜色、形状和构成的抽象关系隐喻性地暗示这些参考，而不是通过图解的主题。

视觉艺术中的隐喻产生于绘画内部的色彩和形状的结构方面与外部经验世界的某些方面的结构之间的深层对应。要形成这样的结构对应，就是把原本不相关的事件联系起来，把以前不完整的经验整合起来，并在这个过程中揭示新的意义。数学上的考虑对这一过程的重要性不亚于审美考虑和想象联想；事实上，数字的排列集合本身就是《星体与人间》中美学组织和隐喻解释的跳板。伯恩赛德定理对确定排列图形集合的完备性的适用性为艺术家提供了一个重要的工具，并有望在Mai未来的绘画中进一步架起艺术和数学的桥梁。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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