七下数学平行线的判断一听就懂（七下数学掌握这些）

开学已经有几天了，新的第一章知识掌握的怎么样了呢？这一单元主要是概念和性质定理一定要理解清楚，可以在这篇文章梳理一下，一定能帮到你！

一、相交线

1.邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

注意点：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α ∠β=180°；反之如果∠α ∠β=180°， 则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑵垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)

⑶垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

3.垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的 另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4.点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。应该结合图形进行记忆。

如图，PO⊥AB，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念。分析它们的联系与区别。

⑴垂线与垂线段

区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量 长度。

具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)

⑵两点间距离与点到直线的距离

区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离 是点与直线之间。

都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与 垂足)间距离。

⑶线段与距离

距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

二、平行线

1.平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线b 互相平行，记作 a ∥b 。

2.两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3.平行公理

平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

4.平行公理的推论

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如左图所示，∵b ∥ a ， c ∥ a

∴b ∥ c

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才能得出结论，这两条直线都平行。

5.三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图，直线 a, b 被直线 l 所截。

①∠1 与∠5 在截线l 的同侧，同在被截直线 a, b 的上方， 叫做同位角（位置相同）

②∠5 与∠3 在截线l 的两旁（交错），在被截直线 a, b 之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

③∠5 与∠4 在截线l 的同侧，在被截直线 a, b 之间（内），叫做同旁内角。

④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U” 型。

6.如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

例如：

如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1 与∠2；⑵∠1 与∠7；⑶∠1 与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5 与∠8。

我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。 如图所示，不难看出∠1 与∠2 是同旁内角；∠1 与∠7 是同位角；∠1 与∠BAD 是同旁内角；∠2 与∠6 是内错角；∠5 与∠8 对顶角。

7.两直线平行的判定方法

方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简称：同位角相等，两直线平行

方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

简称：内错角相等，两直线平行

方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简称：同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

∵ ∠3＝∠2

∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

∵ ∠1＝∠2

∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∵ ∠4＋∠2＝180°

∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

请注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等，然后写平行。

注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”， 判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：①如果两条直线 没有交点（不相交），那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条 直线平行。

典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：

⑴不相交的两条直线必定平行线。

⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要 条件，不能遗漏。

⑵正确

⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在 已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。

典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？

解答：⑴由∠2＝∠B 可判定 AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；

⑵由∠1＝∠D 可判定 AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；

⑶由∠3＋∠F＝180°可判定 AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行。

三、平行线的性质

1.平行线的性质：

性质 1：两直线平行，同位角相等；

性质 2：两直线平行，内错角相等；

性质 3：两直线平行，同旁内角互补。

几何符号语言：

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

2.两条平行线的距离

如图，直线 AB∥CD，EF⊥AB 于 E，EF⊥CD 于 F，则称线段 EF 的长度为两平行线 AB与 CD 间的距离。

注意：直线 AB∥CD，在直线 AB 上任取一点 G，过点 G 作 CD 的垂线段 GH，则垂线段

GH 的长度也就是直线 AB 与 CD 间的距离。

3.命题：

⑴命题的概念： 判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。 命题常写成“如果……，那么……”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。

注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命 题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

4.平行线的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系

两直线平行=同位角相等；

两直线平行=内错角相等；

两直线平行=同旁内角互补。

其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。

典型例题：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C

证明：∵∠1＝∠B（已知）

∴DE∥BC（同位角相等， 两直线平行） D

∴∠2＝∠C（两直线平行 同位角相等）

注意，在了 DE∥BC，不需要再写一次了，得到了 DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。

典型例题：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65° 求∠2、∠3 的度数。

解答：∵DE∥BC（已知）

∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥DF（已知）

∴AB∥DF（已知）

∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°

四、平移

1.平移变换

①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 完全相同。

②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

③连接各组对应点的线段平行且相等

2.平移的特征：

①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角 相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

典型例题：如图，△ABC 经过平移之后成为△DEF，那么：

⑴点 A 的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点 B 的对应点是点＿＿＿＿＿＿。

⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点 F；⑷线段 AB 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；

⑸线段 BC 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A 的对应角是＿＿＿＿＿＿。

⑺＿＿＿＿的对应角是∠F。

解答：

⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。 思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。

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