数学建模竞赛的模型评价（21世纪的核心竞争力）

传统的数学教育中，数学建模和具体问题的数学处理是高等数学的内容。中小学数学中即使有一些实际应用的数学问题，也只是成为一种典型题的解题训练，从而失去了从数学模型的角度处理实际问题的教学要求。这既是教材中存在的问题，也是数学教学观念上的问题。在日益重视素质教育的今天，更应当格外注意中小学数学与实际生活相联的数学模型问题的教学，把学生从公式，定理的逻辑推演中引导到注重解决现实具体问题上来。

事实上，现实的生活中存在着大量的与中小学数学相联系的具体问题，学会把具体问题构建成数学模型，然后应用学到的数学知识把它解决。这样的数学教学效果要远远胜过机械地记忆数学公式和重复性地题海训练。

下面举个现实生活中地具体问题转化为中小学数学模型地典型例子。

某饭店各房间地室内温度由控制室统一调整。一位施工师傅发现，控制室内仪表指示的温度与室内温度有差异而始终调整不好。后来查出原因，是因为从高层房间到控制室的距离很长，三相电的三根电线因转弯处折转不同，有长有短，造成三根电线的电阻不同，结果仪表上就出现了偏差，任何万用表都不能把一头放在十几层楼房间里的A1处，另一头放在底楼控制室的a2处，那么如何来测量这三根线的电阻呢？

一位学过代数的青年师傅想出了办法，他假设x,y,z分别是a1a2,b1b2和c1c2的电阻，这是三个未知量，电表不能直接测量出这三个数。然后可以把a2b2连接起来，在a1和b1处量得电阻x y为l，然后将b2和c2连接起来，在b1和c1处量得y z为m，同理连接a2和c2，可量得x z为n，这样得到三个变元的联立方程式

X y=l

Y z=m

X z=n

于是解出x,y,z仪表就调整好了。

这显然是把一个具体的问题构建成了一个三元一次方程的数学模型。传统的三元一次方程的教学只要求记住代入法，加减法等解题技巧，然后列出方程解应用题，可以看出，这样的数学教学无法解决前面提到的问题。那么这个问题的核心是，要把现实中的具体问题构建成一个数学模型，然后再去解方程，从而解决实际问题。

上面的问题写成应用题则是：如果我们可以量的a1a2和b1b2两线串联后的电阻为l， b1b2和c1c2串联后的电阻为m，c1c2和a1a2串联后的电阻为n，试问三线的电阻各是多少？。相信遇到这样的表述形式，凡是学过三元一次方程的学生都应该会做。但是，又有什么意义呢？

相比之下，我们会认识到，把一个具体问题构建成三元一次方程的数学模型，远远难于解三元一次方程组，因为建构数学模型，是用数学的思想，数学的方法去思考和分析问题，是一种有自己创造性思维的工作（21世纪核心竞争力），它显然胜过让学生在题海中学习数学的解题方法。应当承认，由于应试提分的现实要求，我们的中小学数学教学中，在教学生用数学模型的思想观念认知，解决现实问题的教学方面还存在着很大的不足。

对于中小学数学模型方法的教学，应当注意以下几点。

1. 通过对数学模型的构造，能够深入地认识和理解数学的本质特征。

数学从人类创造发明时开始，就是一种不断建立各式各样符号，运演方式的过程。这个过程在建立数学模型的意义上，可以看作是一个不断建立数学模型的过程。人类创造符号，运演方式直到用这些符号去解决具体问题，这不仅是数学理论的发展，而且是数学模型的不断发展。

例如，对数学图形的认识和理解，应当注意它的数学模型意识。把各种数量关系，图形的获得或抽象过程告诉学生，而不是仅仅把结果告诉学生。就几何图形而言，正是现实生活中的直线，三角形，圆等结合图形才构成了初等几何的数学模型。如果脱离现实中的几何构建模型的过程，初等几何就变成纯粹的逻辑推理，从而失去了现实意义。

2. 运用数学模型的直观，形象作用，强化学生的数学感受能力

在中小学数学教学中，应运用数学模型方法把具体问题转化为数学问题，运用典型的数学模型方法把实际问题给予解决。在这一过程中，要善于突出数学模型的作用，运用直观，形象的数学模型来强化学生感受数学，运用数学的能力。

举个例子，证明：任何6个人之间或者有3个人互相认识，或者有3个人互相不认识。

显然，这是一种逻辑判断式推导型问题，我们可以用数学模型的方法来给予直观，形象的说明，从而强化学生的感受数学的能力。

这个题是图论的一个应用，可用"网络图"的直观模型进行论证说明（是否似曾相识？没错，"成绩暂时差点没关系"中有关会议安排中也用到过图论的数学模型）。

设6个人抽象为平面上的6个点，记为A1，A2，A3，A4，A5，A6，两人认识两点间用实线表示，不认识用虚线表示。以A1为出发点向其余5点连线，有三人认识有三条实线存在，三人不认识有三条虚线存在。我们不妨设为三条实线段，如下图：

此时，A2A3A4它们的边哪怕皆为虚线，结论都自然成立。

此题的分析，还可以从考虑以下三种情况开始：A1与其他五人都认识；A1与其中四人都认识；A1与其中三人都认识。如下图：

在（1）中，若A2，A3，A4，A5，A6互不认识，则结论成立；若A2，A3，A4，A5，A6中至少有两人认识，结论也成立。

在（2）中，若A2，A3，A4，A5互不认识，则结论成立，A2，A3，A4，A5至少两人认识，结论也成立。

在（3）中，若A2，A3，A4互不认识，结论成立，A2，A3，A4间至少两人认识，结论也成立。

3. 引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题

通常的数学教育要求学生能够学会分析问题，列出算式再运算求解。但从数学模型的角度分析，就需要要求学生了解掌握实际问题中的数量关系，并且能够把它构建成一个数学模型，进而解决这个数学模型。

数学的重要内容之一，就是创设一种情境，给出一个实际的具体的问题，让学生在这个具体情境中，按照学过的数学知识构造成一个数学模型，然后再去解决这个数学模型中的数学问题。

举个初等数学中常见的例子。

例：在行程问题的路程，时间，速度三个因素中，如果路程固定，则时间随速度变化。同样，如果时间固定，则路程随速度变化，等等。

一辆汽车从甲地开往乙地，3小时行驶了180千米，按这样的速度5小时到达乙地，求甲乙两地的距离。

分析：此题中有路程，速度，时间三个量，速度不变，显然时间与路程变化，由于路程与时间相对应的两个数的比值（速度）固定，路程与时间成正比例。

解：设甲乙两地相距X千米，则有

X/5=180/3，所以X=300千米

以上的方法是按照应用题方式解题的一种传统的教学形式，干瘪枯燥，没有任何现实体验。如果在学习了数学模型的解题方法之后，通过创设情境（PBL），让学生自己把生活中的具体问题构建成一个行程，工程等方面的比例问题，那就会使学生体会到数学学习的乐趣及实用性，也会使他们增长自信.......。这样的数学教学效果才是今天我们素质教育所要追求的目标。

同时，中小学的数学教育是一个打基础的阶段，良好的积极的数学模型方法教育，不仅仅是教会学生如何去处理数学问题，而且对学生以后的数学学习，对以后其他自然科学学习甚至步入社会处理工作，生活，人际交往，认识世界等方方面面，都会产生积极的作用，让孩子们活得更加精彩。