已知两条线段求最大的边长（已知两条线段和及两角求线段长）

一、题目

如图，已知AB=CD=3，∠A=∠C=15°，∠D=105°，则线段AD的长为_______.

二、分析

本题出自2022山西中考导向卷（五）第15题，题目类型为求线段长.

求线段长常用方法为勾股和相似，现有图形中存在含有所求线段AD的相似三角形，但相似三角形中却不知任一线段长，故无法直接用相似求解.

本题中已知条件较少，需要拓展已知条件，通常需要构造特殊三角形，也可尝试构造直角三角形利用勾股或三角函数求解.

三、解答

1、用三角函数求解

如图，分别延长AD、CB，交于点E.

易证∠AEB=90°，△ABE≌△CDE(AAS)

∴BE=DE

在RT△ABE中，

∵sin15°=BE/AB，cos15°=AE/AB

∴BE=ABsin15°=3sin15°=DE

AE=ABcos15°=3cos15°

∴AD=AE-DE=3cos15°-3sin15°

现在的问题就是如何求出sin15°和cos15°.

如下图所示，先画一个含30°角的直角三角形，延长CB至点A，使AB=BD.

由勾股定理可得AD=√6 √2（开方时需要一些小技巧，文末有解释）

∴sin15°=1/(√6 √2），cos15°=(2 √3)/(√6 √2）

∴AD=3[(2 √3)/(√6 √2）-1/(√6 √2）]

=3(√3 1)/(√6 √2）=3/√2=3√2/2

2、用勾股定理求解

如图，分别延长AD、CB，交于点E，在AD上取点F，使AF=BF.

易得 BE=DE，∠BFE=30°

设BE=x，则EF=√3x，BF=AF=2x

在RT△ABE中，由勾股定理，得

(2x √3x)^2 x^2=3^2

解得x=3/(√6 √2)（开方时涉及双重根号，方法见文末）

∴AD=2x √3x-x=(√3 1)x=3(√3 1)/(√6 √2)=3√2/2

3、构造特殊三角形求解

如图，分别延长AD、CB，交于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F.

易证△ACE为等腰直角三角形

在△ADC中，∠DAC=45°，∠DCA=30°，CD=3

已知两角一边，则该三角形一定可解，故作高DF

DF=1/2CD=3/2

AD=√2DF=3√2/2

四、小结与反思

1、寻找特殊角，构造特殊三角形

看了上面的解答，方法3相比方法1和方法2要简单许多，所以遇到条件较少的题目时，可尝试寻找特殊角，构造特殊三角形求解，而最特殊的三角形就是含30°的直角三角形与等腰直角三角形，所以要寻找的特殊角就是30°、45°、60°.

2、待定系数法化简双重根号

例、化简√(8 4√3)

解：设8 4√3=(√a √b)^2

∵(√a √b)^2=(a b) 2√(ab)

∴a b=8，ab=12

解得a=2,b=6或a=6,b=2

∴8 4√3=(√2 √6)^2

∴√(8 4√3)=√2 √6

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