反比例函数图像与性质知识点(容易被忽略的一条反比例函数图像性质)

反比例函数图像与性质知识点(容易被忽略的一条反比例函数图像性质)(1)

从实例中剖析反比例函数学习中需要注意的事项:

如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y=k/x在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是( )

A.2≤k≤49/4 B.6≤k≤10 C.2≤k≤6 D.2≤k≤25/2

反比例函数图像与性质知识点(容易被忽略的一条反比例函数图像性质)(2)

知识铺垫:我们在学习双曲线的图象性质时,曾经在同一坐标系中作出了k值不同的函数图象,先观察下面这一组:

反比例函数图像与性质知识点(容易被忽略的一条反比例函数图像性质)(3)

在k>0的情况下,k越大,双曲线越“远离”坐标轴;我们同样可以作图来验证k<0的情况;这里叙述下结论:|k|越大,双曲线越“远离”坐标轴。

回到刚才那道选择题中来,首先确定k>0,然后就是考虑这个k值究竟有多大,能够与图中的△ABC的边有交点,不妨过这三个顶点分别作双曲线进行观察:

反比例函数图像与性质知识点(容易被忽略的一条反比例函数图像性质)(4)

我们可以发现,经过点A的双曲线的k值是最小的,此时k=2,而经过点B的双曲线的k值是最大的,此时k=10,那是否就意味着范围是2与10之间呢?仔细观察图形的同学们应该会发现,如果将经过点B的双曲线再向“外”作,应该还与△ABC有交点,那么最“外”侧的这根双曲线到底是什么?

我们可以先作出它的草图,然后再来进行计算:

反比例函数图像与性质知识点(容易被忽略的一条反比例函数图像性质)(5)

设图中红色的双曲线为y=k/x,它与直线BC只有一个公共点,我们可以求出直线AB的解析式为y=-x 7,然后联立方程,得到一个关于x的一元二次方程,由于只有一个公共点,可得△=0,从而可以计算出此时的k=49/4.

综上所述,双曲线与△ABC有交点,k的取值范围为2≤k≤49/4,本题选A.


本题的考查点是教材上没有明确指出的一条反比例函数图象性质,但通过学生作图是可以发现归纳的,若要究其本源,那是高中阶段圆锥曲线的内容了。此处仍然是考察学生对图形的观察与对函数认知的综合能力,具体来讲就是函数的交点问题,通常需要联立方程求解,与根的判别式联系。

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