高中数学函数性质问题（这类关于函数性质的问题）

高考数学中，有一类题型是一定会出现的，就是关于函数性质的综合问题，包括单调性、奇偶性和周期性等。下面这道题就是高考数学关于函数性质的综合真题。我们一起来看看题目，并且从中积累解决这类问题的经验吧。

设函数f(x)的定义域R，f(x 1)为奇函数，f(x 2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)=ax^2 b，若f(0) f(3)=6，求f(9/2).

分析：f(x 1)表示函数f(x)的图像向左平移一个单位长度，f(x 2)则表示f(x)的图像向左平移两个单位长度。像这样通过平移，可以得到奇函数和偶函数的图像，即函数f(x)的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形，那么f(x)就肯定是周期函数。因此第一步就是要证明函数f(x)是周期函数。且由于平移一个单位长度就得到奇函数的图像，平移两个单位长度就得到偶函数的图像，因此函数f(x)肯定是以4为周期的。虽然这样，我们还是要有一个推导过程的。除非是选择题或填空题，我们才能依靠经验，直接得到结果。

由f(x 1)的奇函数性质有f(-x 1)=-f(x 1)，注意不是f(-x 1)=-f(x-1)，后者表示的是f(x)是奇函数。

由f(x 2)的偶函数性质有f(-x 2)=f(x 2), 同样不能写成了f(-x 2)=f(x-2)，后者表示的是f(x)是偶函数。

因为x 2=(x 1) 1，所以f(x 2)=f((x 1) 1)=-f(-(x 1) 1)=-f(-x). 这里再次利用了f(x 1)的奇函数性质。

所以f(-x 2)=f(x 2)=-f(-x), 这里又再次利用了f(x 2)的偶函数性质。

又-f(-x)=-f(-x-2 2)=-(-f(-x-2))=f(-x-2), 这里利用了上面推出来的等量关系f(x 2)=-f(-x)。

因此f(-x 2)=f(-x-2)，这就证明了f(x)是以4为周期的函数了。当自变量加一个数，同减一个数的函数相等时，函数就以这个数的两倍为周期。

而f(0)=f(-1 1)=-f(1 1)=-f(2)，再次运用了f(x 1)的奇函数性质。

因为f(2)=4a b, 所以f(0)=-4a-b.

另一方面f(3)=f(-1)=f(-2 1)=-f(2 1)=-f(3), 前面运用了f(x)的周期性，后面还是利用了f(x 1)的奇函数性质。

所以f(3)=0. 这就可以得到一个关于a,b的二元一次方程，f(0) f(3)=-4a-b=6,

又f(1)=f(0 1)=-f(0 1)=-f(1), 这道题不断重复地运用f(x 1)的奇函数性质。

所以f(1)=a b=0, 又得到一个关于a,b的二元一次方程，与上面的方程组成方程组，就可以解得：a=-2,b=2.

最后求f(9/2)=f(1/2)=f(-1/2 1)=-f(1/2 1)=-f(3/2)=-9a/4-b= 5/2. 前面仍运用了f(x)的周期，而到最后，还在运用f(x 1)的奇函数性质。

原题是一道选择题。不过这里老黄把它当做一道解答题来分析。只有这样，才能真正理解题目的思路和解法。