中考数学动点型解题方法40题（中考数学难点最后一击）

所谓"动点问题"是指在题设图形中存在一个或多个在线段、直线上运动的点的一类开放性题目，此类题目灵活性较强.解决这类问题的关键是"动中取静",换言之就是一切动点问题全部静点化。以不动应万变，灵活运用有关数学知识将问题解决。

初中动点问题一直以来都是很大一部分学生的难中难，甚至有部分同学看到动点问题直接放弃，从心理上告诉自己，这种题不是我的菜。动点问题对于初中生而言，具有一定的难度，该问题一方面考查了图形变换中的知识点，另一方面涵盖了三角函数等知识，题型较为复杂，因此大部分学生不能完整地进行解答。

教师应当结合学生的实际学习情况，对学生进行针对性的指导，排除学生解答过程中出现的问题，帮助学生在掌握相关知识的同时，锻炼学生的解题能力。动点问题具有复合性的特点。涵盖了多方面的知识，在思维方面对学生的要求较高，所以教师在课堂上应当为学生制定与其学习水平及理解能力相适应的指导，帮助学生攻克这一难关。

一、引导画图——找准解题"突破口"

初中数学中的动点问题均以几何问题为基础，因此面对这类问题时，应先将其化为几何问题，降低题目难度。并根据题目条件画出相应的几何图形，再以该图形为基础，有条理地想象动点的运动过程及图形发生的变化，同时将相应的变化反映到图形中。

这一过程能炼了学生的理解能力及思维能力。教师应当注重对学生思维能力的培养，引导学生养成良好的解题习惯，通过不同的练习锻炼学生的画图能力、抽象思维能力等，帮助学生有效地提升解题能力，使学生在解题时可以在较短的时间内找到突破口。

在图形中做出相应的变化，让学生直观地感受到随着动点的运动而带来的变化这样做，一方面能细化学生的解题过程；另一方面，能提升学生的实践动手操作能力。 引导学生画图，能让学生有效地对"动点问题"进行正确审题，把抽象的"动点问题"形象化，这样自然能让他们快速地找到解决此类问题的突破口。

如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝√3/3．

（1）求弦AC的长；

（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；

（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以3/2cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t （0＜t＜10/3），连接PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？

【解答】：（1）∵⊙O的直径AB＝10，∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，tanA＝√3/3，∴∠A＝30°，

∴AC＝ABcosA＝10cos30°＝10×√3/2＝5√3，

即弦AC的长为5√3；

（2）如图1，连接OC，由（1）知，∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，

∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣60°＝30°，

∵OB＝OC＝1/2AB＝5，∴OD＝2OC＝10，

∴BD＝OD﹣OB＝10﹣5＝5，

∵AB＝kBD，∴k＝AD/BD=10/5＝2，即k的值为2；

（3）在Rt△ABC中，∵AB＝10，∠A＝30°，∴BC＝1/2AB＝5，

由运动知，AP＝3t，BQ＝3t/2，

∵0＜t＜10/3，∴0＜AP＜10，0＜BQ＜5，

∴点P在线段AB上，点Q在线段BC上，

∵△BPQ为直角三角形，且∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，

∴∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，

二、动静转化——切准解题"关键点"

"动点问题"的特点是静中有动、动中有静，因此，解决动点问题时，要引导学生通过动静结合的策略切准解题的关键点，以此达到高效解题之效。

1、在动中导静，找到特殊点动点问题

区别于其他问题的最大特点为"动"，在平面的基础上增添了变量，因此学生要随着动点的变化在脑海中构建相应的思路，这一步对学生而言存在较高的难度。初中数学中的许多几何问题处于平面静态维度，思考方式并不复杂，动点问题同样以几何为基础，因此解决这类问题时应当参照普通几何问题以静制动，将不可控的动点问题转化为可以进行直接思考的静态问题教师要引导学生根据题目条件，在动点的变化中找到某一特殊位置，将看似复杂的动点问题转化成学生更容易理解的普通问题，引导学生在练习中提升解决问题的能力。

例如，有这样一道题：某数学兴趣小组利用大小不等、颜色各异的正方形硬纸片开展了一次活动，请认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：四边形ABCD是边长为1正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，小明看到图（1）后，很快发现AE＝EF，这需要证明AE与EF所在的两个三角形全等，但△ABE与△FCE显然不全等，考虑到点E是BC的中点，引条辅助线尝试就行了，随即小明写出了如下的证明过程：证明：取AB的中点H，连接EH，证明△AHE与△ECF全等即可．

探究2：小明继续探索，把条件"点E是边BC的中点"改为"点E是边BC上的任意一点"，如图（2）其它条件不变，结论AE＝EF是否成立呢？_____（填是或否）‚小明还想试试，把条件"点E是边BC的中点"改为"点E是边BC延长线上的任意一点"，如图（3）其它条件不变，那么结论AE＝EF是否还成立呢？　 　_____ （填是或否），请你选择其中一种完成证明过程给小强看．

探究3：在探究2结论AE＝EF成立的情况下，如图（4）所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到BC上某处时（不含B、C），点F恰好落在直线y＝﹣2x 3上，求此时点F的坐标．

【解答】探究1：证明：如图1，取AB的中点H，连接EH，

∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，

∵AH＝EC，∴BH＝BE，∴∠BHE＝45°，∠AHE＝135°，

∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°，

∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，

易证△HAE≌△CEF，∴AE＝EF；

探究2：解：①结论：是．

理由：如图2，在AB上取点P，连接EP，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，

∵AP＝EC，∴BP＝BE，∴∠BPE＝45°，∠APE＝135°，

∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°，

∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，易证△PAE≌△CEF，∴AE＝EF；

②结论：是．

理由：如图3，延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，

∵BA＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE，∴∠H＝45°，

∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝45°，∴∠H＝∠ECF，

∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B ∠BEA，∠CEF＝∠AEF ∠BEA，

∴∠HAE＝∠CEF，易证△HAE≌△CEF，∴AE＝EF．

故答案为：是，是．

2、在以静制动中找到变量点,将动点问题化为静态问题后，需要运用函数的图像体观动点的运动变化，并探究该函数所具有的内涵，以图形存在的变量为基础，构建与之相对应的函数关系，运用动态的目光观察相关变量的联系，以此破解该类问题

例如图，一只蚂蚁从O点出发，在扇形AOB的边缘沿着O﹣A﹣B﹣O的路线匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是（　　）

解答：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；

到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时，S随t的增大而减小；故选：B．

从上述问题的分析过程中我们可以总结出相关规律，可以让学生将其应用到其他相似的题型之中，

再如：已知正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝8，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．动点P以每秒2个单位速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8个单位速度从B点出发沿正方形的边BA﹣AD﹣DC﹣CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．

（1）当运动时间为_____秒时，点P与点Q相遇；

（2）当BQ∥PD时，求线段DQ的长度；

（3）连接PA，当△PAB和△QAD全等时，求t的值；

（4）当直线CQ与直线PA相交时，求t的值或取值范围．

解答:（1）∵点P的运动速度为2cm/s，BC＝8cm，

∴点P运动到点C的时间为4秒，

∵点Q的运动速度为8cm/s，

∴点Q从点B出发沿BA﹣AD﹣DC﹣CB方向顺时针作折线运动到点C的时间为（8 8 8）÷8＝3秒，∴点P，Q相遇时在边BC上，

∴2t 8t＝4×8＝32，∴t＝3.2秒，

故答案为3.2；

（2）如图1，∵BQ∥PD，∴点Q只能在边AD上，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，

∴四边形BQDP是平行四边形，∴BP＝DQ，

∴2t＝2×8﹣8t，∴t＝1.6秒，

∴DQ＝2×8﹣8t＝3.2cm；

（3）①当点Q在边AB上时，如图2，

∵AB＝AD，∠ABP＝∠DAQ，要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QDA，

∴BP＝AQ，

∵AQ＝8﹣8t，BP＝2t，∴8﹣8t＝2t，∴t＝0。8秒，

②当点Q在边AD时，不能构成△QAD，

③当点Q在边CD上时，如图3，

同①的方法得，要使△PAB和△QAD全等，只能是△PAB≌△QAD，

∴BP＝DQ，∴2t＝8t﹣16，∴t＝8/3秒，

④当点Q在边BC时，△QAD不是直角三角形，而△PAB是直角三角形，所以，不能全等；

即：当△PAB和△QAD全等时，t的值为0。8秒或8/3秒；

（4）当点P，Q在运动过程中，直线CQ与直线PA不是平行便是相交，

当CQ∥PA时，点Q只能在边AD上，

如图4，已知，四边形APCQ是平行四边形，∴AQ＝CP，

∵AQ＝8t﹣8，CP＝8﹣2t，∴8t﹣8＝8﹣2t，∴t＝1.6秒，

即：点P，Q运动1。6秒时，AP∥CQ，

∴当直线CQ与直线PA相交时，t的取值范围为0＜t≤3.2且t≠1.6．

3、在动静互换中找到隐含点

当遇到求最值或特殊几何图形的动点问题时，动点一般来说都存在特殊位置形成的特殊的数量关系或图形当中，所以解决此类动点问题，需要动静相互转换，这主要体现在要重点抓住图形变化时隐含的静止情况分析这一情况，能够将一般的问题特殊化，进而帮助学生理清动和静的内在关系，除此之外，一些动点问题还可以利用理论逆推的方法来解决——理论逆推能够有效地找到结论成立的条件，进面快速解决问题因此，解决动点问题时，要注重抓住动点运动的特殊位置，以掌握好其运动规律

例如，有这样一道题：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，求证：AE＝CE．你看过了吗？如果看懂了请完成下题：如图②，在边长为2cm的正方形ABCD中，Q是边BC的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB，PQ．求△PBQ周长的最小值（结果不取近似值）

解答：连接DQ，交AC于点P，连接BD．

∵点B与点D关于AC对称，

∴DQ的长即为PQ PB的最小值，

∴△PBQ周长的最小值＝DQ BQ，

∵AB＝BC＝2，Q是BC的中点，∴CQ＝BQ＝1，

三、分类讨论——提升解题"全面性"

分类讨论是初中生在数学学习过程中经常用到的数学思想方法，这一数学思想方法在动点问题中同样重要。其原因在于动点运动到不同位置时，呈现出来的图形不一样，所以存在多种情况。需要分类讨论，如劝点运动到某个位置时，形成直角三角形，学生将分类时论动点运动到哪些位置时出现直角大部分学生可以很快地想到一种解决方案，便专注地将这一思路写得尽善尽美。从而忽视了其他情况的存在因此，教师在课堂上应当潜移默化地让学生养成分类讨论的习惯，从而提升学生解题的完整度。

综上所述，"动点问题"是初中数学中的重点问题，也是难点问题。

其动点问题的解题思路：

解题关键:一切动点问题全部静点化。

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想；

考察范围：学生对几何图形运动变化分析能力和相关几何知识综合运用能力。

近年来中考数学压轴题正逐步向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向蔓延发展．这些压轴题题型新颖、题意创新，在题型的设计上更加注重考察学生分析问题、解决问题的能力，在内容上更加注重培养学生的空间立体思维能力、应用意识、逻辑推理能力等．在教学层面上更加关注学生对于（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等的理解和运用。

教学中，教师交基于学生的实际学习情况，找到最佳解决方法，让学生可以有效地解决"动点问题"，学生通过这一过程，可以学会如何解决重点问题，从而提升解决问题的信心。获得更多直面中考的勇气和能力。

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