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★抽丝剥茧，详细解析初中数学题324

324:如图所示，点D在△ABC内，∠BDC=90°，∠BCD=∠DAC=30°，

AD=3，AC=8，求AB的长。

★方法三★

解析：

1.因为题目是求AB的长，

不妨将AB放在一个特殊直角三角形中去考虑，

在AC的右侧取一点E，使点E满足：

AE丄AB且使∠ABE=60°，

并将CE连接起来，

如下图所示。

2.根据已经做好的辅助线，

挖掘有用信息：

2.1△BAE是直角三角形，

且∠ABE=60°，

所以AE=√3AB，

∠5=30°，∠1 ∠2=60°；

又知在Rt△BDC中，

∠2 ∠3=60°，

所以∠1=∠3，

而∠1与∠3又分别在△ADB和△BCE中，这两个三角形神似相似三角形；

2.2证明△ADB∽△BCE：

在Rt△BDC中，BD/BC=1/2，

在Rt△BAE中，AB/BE=1/2，

所以BD/BC=AB/BE，

又∠1=∠3，

所以△ADB∽△BCE，故有：

①AD/CE=AB/BE=1/2，

又AD=3，

所以CE=6，

到了此步，你能否看出端倪吗？

在△ACE中，

已经有AC=8，CE=6，

AE=√3AB，

如果△ACB是直角三角形，

那么AB可求；

3.在Rt△BAE中，

因为∠DAC=30°，

所以∠7 ∠6=60°，

又因为△ADB∽△BCE，

所以∠7=∠4，

所以∠4 ∠6=60°，

又∠AEB=30°，

所以∠4 ∠6 ∠AEB=90°，

所以∠ACE=90°，

所以△ACE是直角三角形，

所以AE²=AC² CE²

=6² 8²

=100，

所以AE=10，

所以√3AC=10，

所以AC=10√3/3。

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