数学思维特点的三个层次是（数学思维之道-辩证法和辩证思维）

数学中处处存在辩证法，例如连续与离散、加法与减法、数与形、抽象与具体的对立统一关系，在数学思维中也经常运用辩证思维，孙悟空有72般变化，我们的变化法主要就是辩证法，要善于运用辩证思维引导我们在思维活动过程中进行各种灵活的变化。

在本人简书的系列文章（https://www.jianshu.com/u/2d3edb556d27）中已经对辩证法和辩证思维在数学思维中的体现和运用作了透彻地阐述，有兴趣可以去阅读学习。

这里用一道数学题再来具体阐述下数学思维中的辩证法和辩证思维，题目如下，小学题。

在1、2、3、...、2018、2019这些连续的每个自然数前随意添加正号或负号，再求和，则和的绝对值的最小值是多少？

这题虽然都是些具体数字，不抽象，但2019太大，也就是自然数太多导致复杂性，我们无法一下子看清问题，这就是辩证法中的矛盾。我们要利用复杂与简单、多与少的辩证关系进行转化，以退为进，先退到更简单的、较少的、较小的数字上，简化问题，从简单问题中得到启发、经验、感性和理性认识、突破口，看清问题后再回到原问题。

和抽象问题时要去粗取精去伪成真，保留本质，不能失真丢弃了本质一样。在简化问题之前，要抽取和分析原问题中的本质、主要&关键、约束因素，或者在简化问题时，要考虑简化的问题和原问题要在本质上比较接近或一致。研究成年老虎的基因，如果觉得困难，可以找几只小老虎，但不能找几只老鼠来简化。原题有1010个(偶数个)奇数，1009个偶数，显然无论怎样加减，绝对值一定为偶数，另外2019是奇数，也就是最后一个自然数是奇数，且被4除余3。求和的绝对值最小值，奇数的个数是奇数还是偶数是影响问题的本质或关键，因为如果是偶数个奇数，那和的绝对值必是偶数，有可能为0，如果是奇数个，则和一定是奇数，有可能为1。此外原问题最后一个自然数(2019)是奇数也是关键。这些在简化的问题中要尽量保持和满足。

对这道题，减少数字的个数进行简化，但要保证简化后的问题和原问题在本质上一致或接近，也就是简化后的问题在本质上要能代表或近似原问题，不能失真。对这题，简化时不失真，就要保证奇数为偶数个，如果用1或1、2就失真了，它们的奇数个数是1个，不是偶数个，所以最简单的是：1、2、3，试一下，显然最小可为0(1 2-3)，再继续研究其他的简化情况以便归纳总结，显然不能用1、2、3、4；1、2、3、4、5或1、2、3、4、5、6，因为要么最后一个数不是奇数，要么奇数个数不是偶数，下一个只能在1、2、3基础上加入4，5，6，7这4个数试一下，1、2、3、4、5、6、7显然可以这样：（1 2-3 ） (4 7-5-6)=0,这就从简单情况得到了启发和经验，有了感性认识，恍然大悟，升华到理性认识。后面可加入更多4个一组的数，例如8、9、10、11，递推即可。再回到原题，已经看清问题了，最小值为0。

对这道题，还可以从具体到抽象来变化一下，出一道新题：

在1、2、3、...、4n 2、4n 3这些连续的每个自然数前随意添加正号或负号，再求和，则和的绝对值的最小值是多少？

这题是抽象的，如果觉得理不清头绪，不好理解或不好解决，这就是抽象产生的复杂性，当然有时候抽象也会产生简洁本质性或简单性，例如勾股定理就是抽象了所有直角三角形三边的关系，很简洁很本质。如果因为抽象而导致问题不好理解或不好解决，那就用具体化来简化问题。找几个具体的情况来研究练手，在解决这些具体问题的过程中得到经验和启发，得到或归纳出规律，发现突破口，得到感性和理性的认识，再回到抽象上去。抽象与具体是一对矛盾，它们既对立又统一，相互联系相互转化，如果抽象不好解决，我们就转化/变化到具体情况；如果具体问题不好解决，那就从具体到抽象或到更具体。复杂与简单&简化、多与少等辩证关系都是如此。

对这道题，我们的思维就要变一下，就要运用辩证思维来灵活转弯：找出题目中的矛盾，因为抽象性导致解题困难，我们就找出辩证的矛盾关系概念对：抽象与具体，从辩证法层面来看，它们是存在对立统一，相互联系相互转化的一对。我们利用抽象到具体的转化来引导解题思维活动。用n=0、1、2等具体的数来简化问题，研究这些具体的简单问题，通过归纳等手段，得到启发、经验、规律、感性认识，之后再回到抽象问题上。

道德经有言: ”反者道之动，弱者道之用”，反思调整的曲折性和循环往复的运动变化,是道的运动,道的作用是微妙、柔弱的，这也适用于数学思维之道。这两道题，从原题的复杂情况到简单情况(第一题从2019个自然数到屈指可数的几个自然数1、2、3或1、2、3、4、5、6、7，从复杂的具体到简单的具体；第二题从抽象的4n 3到具体的n=0、1、2，从抽象到具体)，再返回到原题（从少数几个自然数回到2019个自然数，从具体的n=0、1、2回到任意的非负整数n），这正体现了思维之道的”反者道之动”。我们在解决这两道题的思维过程中，念头的转变(第一题，大脑思维从考虑2019个自然数，转变到只考虑少数几个自然数；第二题，从考虑n为所有非负整数，变到考虑n=0、1、2)看似微不足道，但(思维)柔弱胜刚强(表面上看似复杂的两道题和2019、4n 3)，正是靠念头的微妙的改变让我们的解题探索柳暗花明，峰回路转，让我们看清了问题，获得了经验、启发、规律，找到了问题的突破口和本质，恍然大悟。不起眼的一念之间的微妙的思维变化就是思维之道的”弱者道之用”。这也是辩证法的否定之否定。

反者道之动&否定之否定

从原题的复杂性变到简单，从多到少的转化，这也正是辩证法中的矛盾观和联系观中讲的：矛盾双方对立统一，相互联系相互转化。我们在解题时，要找出矛盾的双方，再利用它们的相互联系相互转化来改变问题，来探索解题思路和解题方法，来发现解题突破口。改变问题、转化问题、几何&代数中的各种变形和变换、运用辩证思维以及思维活动，这些都是运动变化，体现了辩证法中的运动观。感性认识到理性认识，从多种情况中归纳总结出规律，体现量变到质变。

可见领悟数学思维要懂些辩证法和辩证思维，思维要有灵活性，辩证思维不能缺席。