向量的基本概念和线性运算（向量的基本概念）

向量的基本概念

线性代数是数学的一个分支，最最简单的理解，它研究的就是向量（及其衍生概念）。

但是，什么是向量呢？向量（vector）是线性代数的基本概念，然而，“什么是向量”，却是一个难以回答的问题。

一般来说，什么是向量，可以从两个方面来理解。一个是从数字列表的角度，一个是从几何学的角度。

1.1 从数字列表的角度理解向量

所谓数字列表，就是把向量看作一组有序的数字，比如“1、2、3”，只不过它的表现形式，稍微有点讲究，如式（1-1）所示。

（1-1）

式（1-1）是向量的标准表达方式，以下为了行文方便，有时候也使用“[1,2,3]T”的形式表达——其中 T 是“Transpose（转置）”的缩写，简单理解，就是把“横”着的“[1,2,3]”给“竖”起来，形如式（1-1）所示。

向量是一组有序数字，它里面的每一个数字，具体代表什么含义，并不需要特别定义，一切取决于应用场景。比如我们可以用(x1,x2)分别指代苹果的质量（重量，kg）和价格（元/kg），像3kg苹果，每kg苹果价格为5元，就可以表示为(3,5)，或者表达为标准形式，如式（1-2）所示。

（1-2）

把向量理解为一组有序数字，简单直接，但是有时候显得不够“形象”，更不够“深刻”。数学上，一般从几何学出发来理解向量。

1.2 从几何学角度理解向量

在数学中，向量的经典解释是：具有大小（magnitude）和方向的量（向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量）。也正是因为此，向量也被形象化地表示为带箭头的线段，如图1-1所示。

图1-１ 向量：带箭头的线段

通过图1-1可以看到，带箭头的线段确实很形象，但是细究起来，就会发现问题。

第1个问题，向量的大小（我们暂且认为是线段的长度），该如何度量？是拿个尺子去测量，量出它是3厘米、5厘米？还是抽象地表达：3、5？

第2个问题，方向是相对于谁的方向？或者说是相对于谁的角度？如图1-2所示。

图1-２ 向量的角度

通过图1-2可以看到，向量 a 相对于 b 和 c 的方向，显然是不同的。

为了解决这两个问题，首先映入脑海的可能是坐标系。我们以平面直角坐标系为例，再来看看向量，如图1-3所示。

图1-３ 平面直角坐标系中的向量

图1-3中，向量 a 也就是 OA，其 A 的坐标为(4,3)，所以我们可以知道：

（1）向量 a 的长度是5

（1）向量 a 相对于 x 轴的角度是 arctan(3/4)

如此一来，问题似乎解决了。但是，这只是梦魇的开始，因为就算以平面直角坐标系入手，也会引发一系列的问题，如图1-4所示。

图1-４ 多个坐标系

通过图1-4可以看到，向量 a 保持不变，但是坐标系发生了变化，此时，固然向量 a 的长度保持不变，但是向量 a 相对于 x 轴的角度却纷呈各异。

而且图1-4-C的坐标系，也不是直角坐标系，那么这样的坐标系能够承载向量的表达吗？这个问题还不算是尖锐的，更尖锐的问题是：向量 a 属于哪个平面？如图1-5所示。

图1-５ 向量所属的平面

通过图1-5可以看到，向量 a 属于平面 A、B、C。实际上，向量 a 不仅属于这3个平面，而是属于无穷多个平面。

既然向量属于无穷个平面，那么以其中一个平面的坐标系来表达向量，是否能反映向量的本质呢？抑或到底需要多少个平面的坐标系才能表达出向量的本质？

所以说，即使是平面（直角）坐标系表达向量这样最简单的场景，都有太多的疑问，更不要说是三维立体坐标系了，如图1-6所示。

图1-６ 三维空间坐标系中的向量

图1-6中，向量 a 的坐标是(xa,ya,za)，用标准向量的形式表达为式(1-3)：

（1-3）

同样，三维空间坐标系中也存在平面坐标系中的问题，难以回答，而且更加触及灵魂：向量 a 属于多少个三维立体空间？或者说，三维立体空间有无穷多个吗？

在三维空间中，二维平面有无穷多个，这符合我们的直观认识。只有1个三维空间，也符合我们的直观认识——小到微尘，大到宇宙，它们都属于同一个三维空间——最起码我们的直观是这么认为的。只是还有另外一个三维空间吗？有无穷多个三维空间吗？

无穷多个三维空间，则意味着存在四维空间。那么问题仍然是一样的：存在无穷多个四维空间吗？

这样的问题一直问下去：存在无穷维空间吗？

问题深入骨髓，触及灵魂，但是似乎没有答案。但是，当我们从这个问题跳出来时，应该会认识到：几何并不是向量的本元，它只是向量的一个深刻的映射。

也许，更加深刻地，

几何的本元是向量！

1.3 再从数字列表的角度理解向量

既然几何并不是向量的本元，那么我们还是从向量最本色的定义出发，把向量看作是一组有序的数字。围绕着这个概念，我们给出向量的如下定义。

定义1.1（向量的元素）

向量 v 是一组有序数字，其中每一个数字定义为向量的元素，记作 vi，其中，i 表示该元素在向量中的序号。第一个元素的需要记为1，以此类推，显然 1 <= i <= dim v。dim v 表示向量的维数，参见定义1.2。

定义1.2（向量的维数）

向量 v 的维数指的是向量元素的个数，记作：dim v。

定义1.3（向量的相等）

如果两个向量 u、v 相等，则记作 u = v。u 和 v 相等，指的是：

（1）dim u = dim v

（2）ui = vi, 1 <= i <= dim u

定义1.4（向量的加法）

三个向量 u、v、w，向量 u 和 v 的加法记作：w = u v，其中：

（1）dim w = dim u = dim v

（2）wi = ui vi, 1 <= i <= dim u

定义1.5（标量）

标量（scalar），亦称“无向量”，它是跟“向量”相对应的一个概念。向量有大小和方向，而标量只有大小。最简单最直接的理解，标量就是单纯一个数字。

定义1.6（向量的标量乘法）

向量 u、v，标量 c，向量 v 与标量 c 的乘法记作：u = cv，其中：

（1）dim u = dim v

（2）ui = cvi, 1 <= i <= dim u

定义1.7（向量的线性相关）

向量 u、v，如果满足如下条件，则称 u 和 v 线性相关：

（1）dim u = dim v

（2）ui = kvi, 1 <= i <= dim u

（3）k 是标量

定义1.8（零向量/0向量）

零向量 0 指的是：

（1）dim 0 > 0，也就是 0 的维数可以是任意正整数

（2）0i = 0, 1 <= i <= dim 0

显然，0 向量与任意向量都线性相关

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