蝴蝶结第66种花式系法（纽结的故事3三维流形）

作者 | 刘洋洲来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢，下面我们就来说一说关于蝴蝶结第66种花式系法?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

蝴蝶结第66种花式系法

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

上一篇文章我们介绍了纽结和带边曲面的关系，并借由后者的分类定理从而对纽结产生更进一步的认识. 这篇文章我们从三维流形入手，展示纽结和其所在空间的关系.

一、三维流形

流形（Manifold），是一种特殊的拓扑空间：简单来说，在它其中的每一点都存在一个与欧氏空间开球同胚的邻域. 而欧氏空间的维数就是流形的维数. 从局部来看，流形与欧氏空间无异，可是将各点的邻域像一个又一个补丁覆盖、拼结在一起，整体上会产生与欧氏空间截然不同的性质. 例如，维空间就是最简单的流形；球面，环面是不同于欧氏空间的流形.

不过我们不必为“维空间”这样的字眼所吓倒，下面着重介绍的情况.

三维球面

我们平时所说的球面即是二维球面，曲面方程为

三维球面则是在此基础上增加一个维度，曲面方程为

然而方程并不能帮助我们直观认识高维球面，借助拓扑手段却可以.

方法一

我们知道二维球面是通过两个二维圆盘粘贴彼此的边界——圆周形成的，那么通过简单的类比，三维球面则是通过三维圆盘（实心球）粘贴彼此的边界——二维球面可得. 然而这听起来似乎是不可能的事情. 究其原因是因为三维球面无法嵌入到三维空间中，就像是球面无法嵌入到平面中一样. 所以我们所谓的粘贴是抽象层面的粘贴，这是我们不得不接受的事实.

回到三维球面的制作，如下图，我们将左右两球的表面粘在一起. 思考三维球面中点的邻域：位于（左右）球体内部的点，天然存在邻域开球；而对于球面上的点，其邻域球被分成两个半球，左右各半. 这意味着当宇宙飞船穿越其中一个球体宇宙表面后就会立即进入到另一个球体宇宙中.

有一种方法可以帮助我们验证如上粘贴的结果确实是.

观察三维球面方程，考虑垂直轴方向的截面，

我们得到的是球心在，半径为的球面，当时，球面退化为点. 借此方法，我们在上图中的左球做水平截面——得到圆盘，则右边的球也形成一个圆盘与之对应，两圆盘的边界粘贴为同一个圆周. 正如我们前面所说，两个圆盘沿边界自然粘贴，得到的便是球面. 于是“双球模型”的截面也都是球面，并且在球的南北极截面退化为点.

方法二

另一种方法则是在三维空间中引入无穷远点，即得到三维球面

对于普通点的邻域依然是继承自的开球邻域；而对于无穷远点，它的开球邻域则是任意有限点球形邻域之外的空间，即

对于无穷远点而言，若点离原点越远，则离无穷远点越近. 显然点的球形邻域和无穷远点的球形邻域在它们彼此的边界粘合，显然又回到了的制作方法一.

实心环

我们再举一个三维流形的例子. 与三维球面的双球模型类似，两个实心环粘贴表面的结果是什么呢？与上例不同的是，粘贴方法不同，则结果不同.

方法一

如上图，注意左右两个实心表面上的红色圆环分别为纬线、经线. 我们将左边环面上的纬线与右边环面上的经线粘贴. 不妨分为两步进行：1.将左边实心圆环切下一段柱体，其底面是纬线围成的圆盘. 将这段柱体放置在右边环面的洞内，柱体的侧面与圆环面洞附近的圆环粘贴，显然纬线与对应的经线重合. 由此我们得到一个实心球，而左面圆环剩余的部分也是一段柱体，同胚于球面，于是最终还原为两个球体将彼此的边界粘贴，由前文可知，其结果为

方法二

第二粘贴方法则是将左右圆环面对应的纬线围成的圆盘沿纬线粘贴——又是两圆盘沿边界粘贴，得到球面. 那么这一次粘贴出来的结果是什么呢？对于其上经线每一点，都对应一个球面，这个三维流形正是. （类比环面，经线上每一点都对应一个圆周）.

还有另外一种观点：将实心球面内挖去一个开球，于是剩下的部分的边界有两个连通分支，一个是最外面的球面，一个是空心处的球面. 我们将这两处的球面粘在一起，粘贴的方式如下：

与分别是内外两球面上的点，两者位于大球面的同一条半径上，我们将其余的点都以这样的方式粘合在一起. 下面验证这个模型和同胚. 如下图，我们先将这个模型对半切分，每个部分同胚于一个实心球面的边界关于赤道平面对称的点粘贴，其结果恰是实心圆环. 这样一来我们又回到上一种情形，两个环面将彼此的边界沿着纬线粘贴.

以上我们所举的例子都是将两个边界曲面亏格相同的带边流形粘贴，以此得到新的流形. 这其实并非特例，事实上任意紧致可定向流形都存在这样的分解，我们称之为Heegraad分解.我们继续考虑亏格将所得到的的流形列出来. 然而，这样的一个列表中会有大量重复的情况，而且如果给定一个以其他方式构造的流形，我们也无法判定它在列表中的什么位置. 所以这不是一个理想的分类列表. 由于篇幅问题我们暂时不展开讨论了.

几何在于分类. 一维流形和二维流形已经得到完全拓扑分类；由Whitney技巧，高维流形的拓扑分类已经取得巨大进展，然而Whitney技巧无法在三维、四维中使用，并且四维流形是不可能完全拓扑分类的，于是三维流形的完全拓扑分类成为当前焦点. 如果将纽结加粗，其本身就是同胚于实心圆环的三维带边流形. 这也是我们本文重点介绍三维流形的原因.

二、中的纽结

我们在起初时所考虑的是嵌入到欧氏空间的纽结，而事实上数学家更喜欢在中讨论纽结理论. 的优点有二：一是因为它与欧氏空间区别不大，简单来说就是多引入了一个无穷远元素而已；二是因为是一个紧致的空间，也就是说它可以有限剖分为若干四面体区域，类似于曲面上的三角剖分，而欧氏空间则显然是不可能的.

我们不妨考虑一下中的纽结，我们仅举一例用以说明空间对于纽结的影响.

如上图，纽结经过内外球的北极点（它们是同一点），可以看出如果在三维欧氏空间，这是一个左手三叶结. 然而令人惊奇的是，这个纽结居然可以“解开”！但我们可以说这是一个平凡纽结吗？非也！事实上这个纽结并不存在一个球形邻域将其含在其中（存在环管状邻域）.

参考文献

[1] Adams C C , Govindarajan T R . The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots[J]. Phys. Today, 1995.

[2] Rolfsen D . Knots and links. Publish or Perish, 1976

[3] Massey W S . Algebraic topology:an introduction. Harcourt, Brace & World, 1967.

[4] Schultens J . Introduction to 3-manifolds. American Mathematical Society.

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