正方形算表面积的公式（立方倍积作图）

立方倍积问题是说作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。这个问题我想了很久，发现无法在有理数域内通过作图求解，于是我就转向无理数域去寻找解决的办法，经过一番思考，我发现当两个立方体的边长都是无理数时，就可以通过作图法求出一个立方体，使它满足立方倍积的条件。这两个立方体的边长分别是根号2和圆周率的二次方根，下面我说一下我的想法和具体操作，为了方便大家阅读，我先给出下面这张图。

参考图1

先作出根号2。图中，△AOB为直角三角形，AC＝1，BC＝1，斜边AB＝根号2。图中所有的长度都用统一标准，即用直尺和圆规画任意长度为单位长度，以后画任何线段都要用圆规在单位长度上取值，并通过平行移动等尺规作图法来作图。

声明一下，图中所有画法皆为尺规作图，而不是靠尺子去量的。其次，所有的图均为示意图，我只是想表达立方倍积是如何通过尺规作图实现的。

直角三角形中斜边的长度是由直角边的比例唯一确定的，和把三角形画多大和画在什么地方没有关系的。

用同样的方法，作出根号10。根号10也是一个直角三角形的斜边。

作出圆周率Pi。关于圆周率pi的作法我曾经专门写过一篇文章发表在头条上，文章的名称叫《一起来画圆为方》，有兴趣的朋友可以去看看。

通过作图法给出的pi值是3.135。

这里我就不再给出pi值的作图法了，我要说一下怎么通过作图法求出圆周率pi的二次方根。请看下图。

参考图2

图中线段PN的长度＝Pi，这和我在《一起来画圆为方》是求出的Pi是相等的。将线段PN8等分得到线段NA，NA的长度＝（Pi÷8），将NA反向延长至A撇点，取NA撇的长度＝NA。作A撇P的垂直平分线，交A撇P于B点。PB的长度＝A撇P的二分之一，又等于（NP＋NP÷8）÷2，PB＝1.763438，

线段PB在数值上等于Pi的二次方根，图中给出了Pi的理论值的二次方根，用作比较。

以线段PB的长度作为立方体A的边长，作一个立方体A，同时以△AOB的斜边AB的长度作为立方体B的边长，作一个立方体B。立方体A就是我们要求的立方体，它的体积等于立方体B的两倍。如下图。

参考图3

至此，我通过三篇文章，分别探索了化圆为方，立方倍积，三等分任意角这三个问题。其中，三等分任意角的精度达到了千分之三，但没有给出通项公式，使用具有局限性，我是用累减求差法求三等分角的，当年牛顿用累减求差法算出过圆周率Pi，而我们现在用的积分方式是累加求和法，这两种方法并没有本质上的区别，但可能一方的精度会更高，尤其中那些难以提高精度的计算可以试试累减求差。