分式方程增根和无解区别（为什么我的分式方程多一个根）

为什么我的分式方程多一个根？

伍家岗区2019年秋季学期八年级数学期末考试第23题，基于图形面积的应用题，在题目逐步引导下列出分式方程并不是难事，然而在解方程的过程中，却出现了一部分学生得出两个根（有一个是增增根）的情况，这又是为什么呢？

题目

某农场有一块长方形土地，长BC=4n米，宽AB=(4n-2)米(n>1)，按如图所示分成九个区域，其中四周阴影部分外围均为相同的正方形，种植甲类作物。中间阴影部分外围是长为(2n 1)米的长方形，种植乙类作物。

(1)用含n的式子表示种植甲类作物的一个正方形边长为________，种植乙类作物的长方形的宽为__________；

(2)请你判断哪类作物的种植面积大？为什么？

(3)若两类作物的总产量相同均为2520千克，每平方米产量高的比低的多240/(2n-1)²千克，试求种植甲类作物的面积。

解析：

(1)种植甲类作物的正方形边长=[BC-(2n 1)]÷2=n-0.5，种植乙类作物的长方形的宽=AB-2(n-0.5)=2n-1；

(2)先表示出甲乙两类作物各自的面积，甲类作物面积=4(n-0.5)²=(2n-1)²=4n²-4n 1，乙类作物面积=(2n-1)(2n 1)=4n²-1，用作差法比较如下：

甲类作物面积-乙类作物面积=-4n 2

由于n>1，因此-4n 2<0

∴甲类作物面积<乙类作物面积；

(3)根据上题的结论，我们可以知道，甲每平方米产量高于乙每平方米的产量，因为总产量相同，于是作物面积小的每平方米产量一定高，所以得到等量关系是：

甲每平方米产量-240/(2n-1)²=乙每平方米产量

列方程如下：

2520/(2n-1)²-240/(2n-1)²=2520/4n²-1

咋看上去是一个含2次式的分式方程，不过在解的过程中，是可以化为一元一次方程的，正常化简过程如下：

可偏偏就有不太“正常”的解法，如下图：

幸好这位同学还记得验根，发现n=0.5是增根，于是结果倒也正确，n=10。

解题反思：

为什么会出现这样的情况呢？

在第二位同学的解法中，交叉相乘，实质上是两边同乘(2n-1)²(4n²-1)这个式子，比起第一种解法中两边同乘的(2n-1)²(2n 1)多出了一个因式。

我们知道，两边同时乘的因式次数过高，会导致得到的方程次数较高，两边同乘的因式是3次，分母中的式子为2次，最终得到的就是一元一次方程，而两边同乘的是因式是4次，得到的就是一元二次方程。

其实在我看来，第二位同学做复杂了，在八年级学习分式方程的时候，去分母这一步，讲得明明白白，两边同乘的是最简公分母，正如解法一，而解法二两边同乘的并不是最简公分母，所以导致结果出现高次方程，虽然这位学生借助因式分解完成了解一元二次方程，但过多消耗了精力在这道题上，并不划算。

爱数学做数学