怎样快速认识三角形和几何图形（数学科普谈对最简图形三角形的认识）

[数学科普]：谈对最简图形三角形的认识（彭彤彬），下面我们就来说一说关于怎样快速认识三角形和几何图形?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

怎样快速认识三角形和几何图形

[数学科普]：谈对最简图形三角形的认识（彭彤彬）

自然中最简图形是什么？除组成图形的基本元素点线面外，基本图形中最简图形就是三角形。

三个木棒就能拼成一个三角形。

三个石块，用一根绳缠绕它们一周并拉紧绳，就形成一个三角形。

首先我们知道，三角形具有良好的稳定性，即三边定了，三角形就不可改变了。而其他多边形的边一定时，形状可任意改变的。

这个稳定性，在现实中有广泛应用。

正因为它的最简性和应用广泛性，迫使人们对它加以关注并进行研究。

面对一个图形，人类是如何认识它的呢？

人们知道，三角形就三条边及三个角，共六个元素，这六个元素，它们中一个有什么取值特点？它们中的几个或全部，互相之间有什么关系呢？

这是最基本的问题，但这个问题的答案众多，涉及到的知识广泛，人要学好多年才能弄清楚。

人常从哪些方面方面研究三角形呢？

1.形状：①一个的形状，涉及特殊三角形和一般三角形，即有三角形分类。一个的形状，涉及边的长短，角的大小，就有边长短及其之间关系，角大小及其之间关系。

②二（或多）个的形状，涉及到相同不相同，相等不相等，即全等不全等，相似不相似。

2.大小：涉及周长及面积，面积涉及高。

3.涉及知识：边有长短，涉及边的度量和长短比较，角有大小，涉及角的度量及大小比较，边角之间关系涉及三角函数定义、公式等知识。

4.三角形性质研究：涉及三角形的有关概念和性质。如三角形重心，垂心，内心，外心。外接圆，内切圆。

5.三角形知识应用：求解有关图形问题。

人在接触大量三角形后，开始认识了特殊三角形，如等边三角形，等腰三角形，非等腰三角形，直角三角形，非直角三角形，就完成了对三角形的分类。

按边分有等腰三角形，不等边三角形，等腰三角形中有等边三角形和非等边三角形。

按角分有锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，直角三角形中有等腰直角三角形和非等腰直角三角形。非等腰直角三角形中还有一个一角是30度的特殊直角三角形。

人完成了对三角形的感性认识后，就对三角形的边角进行了探讨。

人知道，两点之间直线段最短，总结出边的性质：三角形中任两边之和大于第三边，特别是两较短边和大于最大边。由此推出：任两边之差小于第三边。结合两者得到三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

人们在对三角形中三角的度量中，首先得到了等腰直角三角形中两锐角都为45度。进一步得到直角三角形中两锐角互余，并进行了证明。

发现直角三角形三角和为180度。又发现等边三角形每角为60度，三角和为180度。进而对等腰三角形内角和进行了探讨，得到也为180度。

人猜测任意三角形三内角和为180度，最后完成了证明。人终于得到了一个关于三角形的一个完美的结论。这样，在任意三角形中，知道两角就可以求出另一角了。

人对三角形的初始研究中，还发现了下列结论：

等边对等角，等角对等边。

大边对大角，大角对大边。

三角形中最大角不能小于60度，最小角一定小于60度。

等边三角形有三条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，等腰三角形的顶角平分线，及其底边上的高，底边的中线重合。

等边三角形，等腰三角形，直角三角形的三条高过同一点。并进而猜测并证明了任意三角形的三条高都过同一点，这点叫三角形的垂心。

在研究三角形的外接圆与内切圆时，人们发现并证明了三角形的三边中垂线交于一点，这点叫三角形的外心，三角平分线交于一点，这点叫三角形的内心。

在研究三角形边的中线及中位线时得到了三角形三边中线交于一点，并且三等分每条中线，这点叫三角形的重心。因为一块均匀的三角形木板，在其重心处穿一线将木板吊起来时，木板可以保持水平状态。三角形两边的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

早期对一个的三角形研究和认识，大致到此为止了。

早期人们还从不同的三角形可能形状大小完全相同，可能只有形状相同而大小不同出发进行了研究。引出了全等三角形和相似三角形的概念。并得到了它们的性质和判定。

两个可以重合的三角形叫全等三角形。其性质：全等三角形三边对应相等，三角也对应相等。其判定有三个：①三边对应相等的三角形全等，②有两边及夹角对应相等的三角形全等。③有两角及夹边（或有两角及其一角对边）对应相等的三角形全等。

有了这些知识后，我们就可用全等三角形知识先判定三角形全等，然后就可证明出线段等与不等，角相等不等，并可比较线段长短与角的大小。

当两个三角形形状相同大小不同时，规定它们为相似三角形。得到了性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。得到了判定：①三边对应成比例的三角形相似。②两边对应成比例，夹角相等的三角形相似。③两角对应相等的三角形相似。

有了相似三角形知识，我们可证图形中的等相等，边之间的关系。

早期人还研究了一个三角形的大小。主要从周长和面积出发。

要围成一个三角形，需多长的绳或木条？周长大可作的三角形就大，周长小可作的三角形就小。其实周长就是三边之和。

一个三角形占有平面的大小，我们称作这个三角形面积。

三角形面积如何求？它有什么性质和应用？

人们通过研究，发现求面积公式为一边长与此边上高之积的一半。发现等底等高的三角形面积相等。全等三角形面积相等，相似三角形面积比等于相似比的平方。任何封闭图形面积可分割成三角形来求。

在研究并得到了上面关于三角形基本知识后，人们认识到它的作用巨大，能解决许多问题，但也觉得欠缺不小：如角之间有等式关系结论，直角三角形中边之间的等量关系也有，为勾股定理，但一般三角形中，三边之间或边角之间有等量关系吗？有等量关系，那就更完美更高级，相应能解决的问题就更多了。所以人想进入更深入的研究。

但人们遇到了难题，一时找不出相应的等式结论。

这要等，等另一个方面的知识建立并完善后才能进行。

由于现实生活和生产的需要，人们逐渐形成了三角函数的概念，并给出了定义：在直角三角形中，一锐角的正弦值等于其对边与斜边之比值，一锐角的余弦值等于其邻直角边与斜边之比值，一锐角对边与邻边之比值等于它的正切。

这样就得到了直角三角形的边角等量关系，结合早年得到的直角三角形中两直角边的平方和等于第三边的平方，两锐角和为90度，就可解所有直角三角形，即已知直角三角形中一些边角，可求出其他的所有边角。

有这就可找出一般三角形的边角等量关系吗？

不行，人们还要等。因为三角形中内角有钝角，但上面只有锐角三角函数定义。

后来，人对角概念进行了推广，推广到任意角，并定义了任意角的三角函数，才为解决问题扫除了障碍。

有了任意角的三角函数定义及知识后，人们回过头来，研究三角形，终于得到了任意三角形中边角间的等量关系，即为现今的正弦定理和余弦定理。

正弦定理：三角形任一边与其对角的正弦值之比不变，为一个常数，这个常数等于这个三角形的外接圆直径。

余弦定理：三角形中，任一边的平方，等于另两边的平方和，与另两边及它们夹角的余弦值积的2倍之差。

它们都可用来解任意三角形，即已知三角形中的某些边，求其余的边角。

利用正弦定理可解下列三角形：

①已知两角及一边，求其余边角。

②已知两边及其一边对角，求其余边角。

利用余弦定理可解下列三角形：

①已知三边，求其三角。

②已知两边及其夹角，求其余边角。

仔细体会一下：这其实是三角形全等保证了的（当然有些不同）。

你看：三边对应相等的三角形全等，不就是说三角形中已知三边长度，三角就定了吗，但它没告诉我们怎么求三角，有了正余弦定理，这问题就解决了。

你看：二边及夹角对应相等的三角形全等，不就是说三角形中已知二边长度和夹角大小，其余两角及一边大小就定了吗，但它没告诉我们怎么求另二角和第三边，有了正余弦定理，这问题就解决了。

你看：二角及夹边（或一角对边）对应相等的三角形全等，不就是说三角形中已知二角和某一边大小，其余两边及一角大小就定了吗，但它没告诉我们怎么求另二边和第三角，有了正余弦定理，这问题就解决了。

当然已知两边及其中一边对角对应相等两三角形不一定全等，但仍可用正余弦定理来解，不过我们知道的，这个时候可能无解，可有一解，还可有两解。

有了正余弦定理后，还可得到求三角形面积的另外公式，如：三角形面积等于任两边及其夹角正弦值之积的一半。如已知三边求面积的公式，在这里略去。

至此，有关三角形的基本知识就完美了，就可应用它们去深入研究三角形的更多更复杂的性质，去解几何图形中的许许多多有关问题了。

三角形的这些基本知识分布在小学，初中，高中的课本里，人们需要经过十多年的知识积累和本内容知识的学习，才能得知和掌握的。

用三角形的这些基本知识研究和解决的问题，历史上，层出不穷，如今累积起来的可供人们去解的题目，可谓浩如烟海，几十本书也写不完的。

你知道多少？

你掌握了多少？

你用它们来研究了多少新的东西？得到了多少可用的结论？

没听说直角三角形中的勾股定理有几百种证法吗？

没听说圆的面积可用许多三角形组成的圆内接多边形或圆外接多边形的面积去近似代替，而要得到圆的面积公式，只需要取一个极限吗？

三角形的上面的知识是基础知识。基础知识的作用是巨大的，是更高深理论的基础，我们怎么能不去学习和掌握它们呢？