数学归纳法的简单运用（也谈数学归纳法的逻辑基础）

数学归纳法（mathematical induction）是一种重要的数学证明方法，利用它可以证明某些命题对于全体正整数成立.一般地，用数学归纳法证明“命题对于全体正整数成立”的步骤为：（1）证明对于1成立；（2）证明“若P对于成立，则P对于 1成立”.当完成（1）(2)之后，便可断言：对于全体正整数都成立.

众所周知，正整数1,2,3,…有无穷多个，数学归纳法用两个步骤就能完成对于无穷多情况的的证明，它的逻辑基础是什么？它是哪种类型的推理？以下笔者谈谈自己的浅见。

正整数是人类最早认识的数，它看似是最简单的数，但是由于其具有无限性的特征，在数学中严格地描述正整数集合并不简单. “人生有限，数目无穷.”如果一个数、一个数地研究关于正整数的问题，那么永远不可能解决问题. 于是，许多人便从正整数的本质属性入手，探究如何对正整数集合进行整体性刻画。在这方面德国数学家康托尔（G. Cantor，1845-1918）和意大利数学家皮亚诺（G. Peano,1858~1932）分别从基数和序数的角度作出重要贡献。皮亚诺是研究数理逻辑和数学基础的先驱，1891年他给出了对正整数有序性的严格刻画，即皮亚诺公理. 用现代的数学语言和符号可以把这些公理的意义简述如下：

，即任意正整数都满足命题. 因此，我们说数学归纳法是按照三段论展开的严格的演绎推理，即在确立一般性的大前提的基础上，针对具体命题证明小前提，获得关于具体命题的结论. 由此看来，数学归纳法中“大前提——小前提——结论”的证明结构，与通常的几何证明在逻辑上具有一致性. 例如，依据“过直线外一点有且仅有一条直线与平行”这条一般性公理（大前提），再指出“某三角形的顶点是直线外一点”（小前提），便可以得出“过点有且仅有一条直线与边平行”（结论）, 就是这样的证明结构. 必须注意，数学归纳法中对于小前提的证明包括（1）和（2）两步，缺一不可，这是因为大前提——数学归纳法原理中的条件有（1）和（2）两条，两者都需具备.

通常我们称数学归纳法中的第（1）步（证明“=1时命题成立”）为“奠基”，称第（2）步（证明“若时成立，则 1时也成立”）为“递推”.第（1）步多为验证的形式，而第（2）步则需先作出归纳假设“时成立”，再由此推证 “1时成立”.虽然第（2）步的证明一般比第（1）步复杂，但从三段论的角度看，它们都是针对具体命题证明小前提的，大前提则是作为公理而无须证明的数学归纳法原理.

既然数学归纳法是演绎推理，为何其名称中又有“归纳”二字呢？笔者认为，第一，虽然从整体上看，如前所述数学归纳法符合“先一般，后特殊”的三段论形式，但是从证明中涉及的数的角度看，证法中的第（1）步是针对=1（或

）进行的，这里的1（或

）是特殊的数，所以这一步是在讨论特殊对象；第（2）步是从“时成立”出发，推导“ 1时也成立”，这里的已不是一个特殊的、确定的数，而是在进行从“到 1”的一般性递推. 因此，证明中对的讨论顺序则是“先特殊，后一般”的，这不仅符合“由易到难，由简到繁”的证明思路，也反映了人们发现规律的通常过程. 第二，数学归纳法原理这个一般性原理的产生背景，恰是人们面临涉及无穷多个数的问题，苦于无法完成无限次验证，而长期思索如何解决这个难题. 人们经历了无数次特殊的、具体的验证性实践后，认识终于升华，总结出正整数集合的元素具有可以无穷次递推的后继关系，并进一步概括了这种规律，从而形成关于正整数的公理. 不完全归纳法的“验证——发现——想象”，对数学归纳法原理的产生是功不可没的，没有验证性的探索及归纳，就没有对后继数及其间包含递归关系的一般性认识，也就没有数学归纳法原理的产生. 由以上两点，我们可以认为数学归纳法虽是演绎推理，却具有归纳思想的色彩. 或许正因如此，才在这种方法的冠名中保留了“归纳（induction）”吧！正是由于有了这种证明方法，使得“人生有限，数目无穷”的难题在一定程度上得以解决，使得用有限次步骤证明涉及正整数集合的某些命题有了充足的逻辑基础.