学过平面图形面积和周长（仁者无敌面积法再版）

序：情有独钟面积法

我对面积法，有着很深厚的感情。因为面积法伴随了我30多年的科研和科普工作。说是情有独钟，一点都不为过。

20世纪70年代，我在给中学生讲课的时候，以及后来做竞赛题，发现面积法都非常有用。当时曾寻找过面积法的资料，只有零零散散的一些，系统的论述，没有找到。

80年代初，上海教育出版社的同志向我约稿。我就把那几年关于面积法的一些想法，写成一本小册子《面积关系帮你解题》。这本小册子多次印刷，流传甚广。

现在回过头来看，当初的一些想法还不太完善，有些解题走了弯路。但不管怎么说，从那本书开始，几乎以后的每本科普书里，我都会涉及面积法。

1986年，在著名数学家吴文俊先生的影响下，我开始从事数学机械化领域的研究。我把面积法这一古老的解题方法与当时最前沿的科学研究联系起来，竟然有了意外的收获，创建了可构造等式型几何可读证明自动生成的理论和方法，并在计算机上实现了。对于我来说，实属侥幸；同时也更坚信面积法的威力。

从 1974 年到 1992 年, 我用面积法研究几何 18 年, 才发现其中的关键是消点。消点法实现了可读机器证明的突破, 但当时根本没有想到还有可读性更强的点几何恒等式方法, 这种方法竟然使大量几何题的解答比题目本身还要简短。在古老的初等几何领域居然还能发现这种新奇而高效的方法, 数学的丰富多彩令人惊讶!

现在，几乎所有的平面几何资料都把面积法作为基本解题方法来介绍。如果这和作者做的普及工作有关，是让我感到欣慰的。但在中小学教科书中，还很少看到面积法的踪影。我总认为面积法的作用还可以发挥更大一些。

现在, 几乎所有的平面几何资料都把面积法作为基本解题方法来介绍, 我感到欣慰, 这也许和自己做的普及工作有关, 但在中小学教科书中, 还很少看到面积法的踪影。我总认为面积法的作用还可以发挥得更大一些。近年来, 基于对面积法的思考, 我提出了“下放三角”的几何改革思路, 即利用单位菱形的面积定义正弦, 从而展开初等数学体系。有兴趣的读者可以看看我写的《一线串通的初等数学》。在那里, 你会看到面积法已经不仅仅是解题的利器, 而且是建立初等数学体系的中央枢纽。

为了更好地方便中小学的老师与学生了解和学习面积法, 我和助手彭翕成博士合作编写了《仁者无敌面积法》。本书第1版由上海教育出版社出版, 出版后被一些学校和机构指定为几何入门的必备资料。我们很高兴看到读者对我们如此认可。今天，我们对这本书进行了完善并重新出版, 期待能对你学习几何知识有所帮助。

本书题目很多，收集、整理、排列，花费了不少功夫，但难免有错漏之处，欢迎来信批评指正。通常在3个工作日内，您可以得到回复。

张景中：zjz101@yahoo.com.cn

彭翕成：pxc417@126.com

张景中

2022-3-1

后记

曾听北京航空航天大学李尚志先生讲解“子空间”的概念。其中一段大意如下：要判断一个空间是不是另外一个空间的子空间，关键要检验这个空间所使用的是不是原来空间的运算规则（加法和数乘）。只有继承了人家的核心技术，你才能称之为人家的弟子。张三丰出身少林，但后来自创武功，不再用原来少林派武功了，所以武当并不能看作是少林的子空间。

我自认为，是一直按照张师景中先生的教诲从事研究的，可我到现在还不大敢以张师门下弟子自居，张师学问之精妙，非我所能领悟和继承的。正如孔子与子夏论诗曰：“窥其门，未入其室，安见其奥藏之所在乎？前高岸，后深谷，泠泠然不见其里，所谓深微者也。”

跟随张师，是我人生中的大转折，这也是让很多人羡慕的。难以想象，如果没有遇上张师，我的人生会是一个什么样子？幸好，我不需要这个假设。

张师博学多才，著作等身。看张师书，才气纵横。听张师言，醍醐灌顶；虽年过七十，但与人交流，思如泉涌，能够不断提出好的想法。张师修身处世，温良恭俭让，仰之弥高、瞻之弥远，让我常发望洋兴叹之感。有生之年，倘能得张师十之一二，于愿足矣。

张师对我，付出了很多时间和精力。每当别人提起，某某学生不错，是张院士指导得好。张师总是做谦虚状，说：主要还是学生自己努力。但也有例外。一次有人提起：小彭这几年进步很大啊！张师点了点头，正色道：那是，你也不看看跟着谁？我这几年指导他不知花了多少时间!

长江后浪推前浪，这是社会发展的大的规律。但对于某一个个体而言，却未必。以我个人观察，弟子能够胜过老师的并不多，大多数人还是继承前辈的学说，顶多是小修小补，做个注解。只有极少数天才的出现，才能破除陈规，大大推进学科的发展。

张师教了我不少，可我吸收的却不多。信息在传递过程中受到损耗，是难以避免的。但损耗太多，却是让人惋惜的事情。这应该归责于我的数学基础和领悟能力。可既已成事实，我也只能把我所得之浅见，整理成文，传播开来，让更多的人从中受益，使得张师花费在我身上的心血能够尽可能大地发挥效益。

这本《仁者无敌面积法》，主要思想是张师提出来的，其中也包含我学习张师面积法的心得与体会。倘若你在书中发现一些精妙解法，那十之八九来自张师；而其中的“低级错误”，必定来自于我。

张师要求我，所写的书里至少有80％以上内容能够单独成文发表。就好像军队，合是一支劲旅，协调一致；分则兵能为将，独挡一面。只有具有原创新，相当部分内容是其他书上看不到的，只有做到这一点，别人才会买你的书。否则，为什么要买你的呢？要做开先河的人，而不能随波逐流，人云亦云。

张师提出这样的要求，是因为他太清楚现在的出书状况了。很多作者以普及为由，拼凑成书，合起来确实是一本书，但如果分开单独发表，则会被人告为抄袭；或者被认为老生常谈，没有新意，不能发表。

我努力朝着张师的要求前进。虽不能至，然心向往之。本书基本上做到了这一点，大部分章节都拆成文章发表在杂志上。特别是《中学生数理化》的编辑韩可立先生开专栏连载，无形中督促了作者不敢放松。本书初版，刘祖希、胡晋宾、杨春波三位老师帮助审校了全书；此次再版，得到刘朋老师的大力支持，李有贵、聂海波、曹亚云三位老师帮助审校了全书。在此, 一并表示感谢。

彭翕成

2022年于武昌南湖

《仁者无敌面积法》释题

《论语》有云：智者乐水，仁者乐山。智者动，仁者静；智者乐，仁者寿。

仁者心境平静，豁达开朗，宽容仁厚，能从山水之中找到自己的欢乐，坦然面对人生，自然长寿!

梁惠王曾向孟子请教治国之道。孟子回答: 勇者无惧，智者无惑，诚者有信，仁者无敌!仁者无敌，是指有仁爱之心的人无敌于天下。

在今天，仁者无敌已经是一个意思相当稳定的成语。

本书书名则另有解释。仁者寿，与世无争；面积法历史悠久，用仁者为喻比较形象。长期以来，面积法没有受到足够的重视，直到数学机械化的研究工作深入之后，我们才发现古老的面积法能够形成解题的算法，并且所得的机器证明是可读的，结束了几何证题无定法的局面。因此说仁者无敌面积法，有其道理。

金庸先生在《倚天屠龙记》中写道:

便在这万籁俱寂的一刹那间，张无忌突然间记起了九阳真经中的几句话：“他强由他强，清风拂山冈。他横任他横，明月照大江。”他在幽谷中诵读这几句经文之时，始终不明其中之理，这时候猛地里想起，以灭绝师太之强横狠恶，自己决非其敌，照着九阳真经中要义，似乎不论敌人如何强猛、如何凶恶，尽可当他是清风拂山，明月映江，虽能加于我身，却不能有丝毫损伤。然则如何方能不损我身？经文下面说道：“他自狠来他自恶，我自一口真气足。”

面积消点法亦然已达此种境界。不管题目如何复杂，如何来的，就如何去!

《仁者无敌面积法》

作者：彭翕成 张景中

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2022-08

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作者简介

内容简介

本书介绍了面积法解题的基本工具：共边定理、共角定理，以及面积法解题的指导思想：消点法，并辅以大量例题来说明面积法解题的有效性。另外，本书以专题形式介绍了面积法与勾股定理、托勒密定理等著名定理的关系，以及面积法在不等式、三角等多个数学分支的应用。

本书起点低，以面积法为主线，串接了许多有趣的数学内容，适合中学生、中学老师以及数学爱好者阅读。

同系列书籍：

张景中 王鹏远 著 《少年数学实验》！

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