微分的实际应用（轻松学习微积分）

物理和数学本来就是相辅相成的，扎实的数学功底对物理的提升是相当大的。数学中的微积分对于解决物理问题有其先天优势。2016年物理竞赛大纲中明确要求了微积分初步及其应用，那么学习微积分最重要的是理解其思想，其次是计算。本文诣在用通俗易懂的语言、生动形象的例子帮助高中生理解、掌握微积分，并且会进行简单的计算。

微积分的思想两大基础是：函数、极限

一、函数

1.1 数学上函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

那么在物理学领域对应的函数概念是什么呢？

物理学中，在课本上经常看到一些物理公式、解题时经常列一些方程等等，其本质就是函数。数学上，函数可以描述x和y之间的关系；同理，物理上的公式（方程）也可以描述两个物理量之间的关系。

例如：

其实物理公式（方程）本质就是就是函数，用来描述物理量之间的关系；首先我们要扭转一个观念，我们在平常解题的习惯中认为方程是针对的某一时刻、某一点或者某个状态，那是狭义的。方程本来是描述的整个物理过程（特殊情况除外），只有带入具体数据时，才是描述的某一个特定点或状态。

例如：在下图中，函数都是描述的一条直线，而不是一个点。

1.2 函数概念理解之后，我们来看积分对象：微分方程

如果想使用微积分解决问题，首先要列出微分方程，然后对微分方程进行积分。

那什么是微分方程呢？

我们之前说过，方程的本质就是函数，数学上定义微分方程：指含有未知函数及其导数的关系式。物理上就是含有微分变量的方程（也可以理解为含有微分变量的函数）。

例如 速度：dx=vdt

物理角度：无限小的一段位移dx，我们可以认为是匀速运动，经过很短的时间dt，对应的速度就是v。数学角度：x是关于时间的t的函数，等式左边对因变量x求导，等式右边对自变量t求导。另外，dx=vdt可以表示整个物理过程中的速度，当题中已知速度关于时间的具体表达式时，我们就可以对其进行积分求解，进而求出位移x关于时间t的表达式。

同理加速度：dv=adt

二、极限

2.1 数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”。

例如函数：y=arctanx，逐渐逼近π/2，但是又不等于π/2。

2.2 物理中通常涉及的到是某个物理量达到无穷大量时，对应函数的极限。例如万有引力，当r→∞时，万有引力趋于零。另外还有一个概念，无穷小量，这个在处理近似问题时会经常用到。我们在利用无穷小量处理近似问题时经常有这样的困惑：那些量可以舍去，那些量不可以舍去？怎么判断？在解决这个问题时，我们先引入一个概念高阶小量。无穷小量二次及二次以上的量都称为高阶小量。在做近似处理时，情况一：式子不含常量时，把高阶小量舍去，保留一阶的无穷小量；情况二：式子含常量时，舍去无穷小量。

例如：

其中 ri-r(i-1)=△x， △x趋于0（即无穷小量），很多人不知道该处理。其实这里就是舍去含有无穷小量项，用的熟练以后可以直接使用，接下来我们进行简单推导：

到这里已经很清楚了，含有△x的项都需要舍去（因为有限量乘以无穷小量还是无穷小量，仍然趋于零）。这样原式求和就变得很简单了。

三、用微积分解决物理问题的一般步骤

1. 建立适当坐标系（本质参考系的选取）

坐标系的选取直接关系到积分的难易。

2. 建立微分表达式

通常我们理解的物理方程可以描述物理过程，同样微分方程也可以描述物理过程。有的可以直接建立微分表达式（容易）；有的不能直接建立微分表达式（困难）；如何利用已知条件建立的微分表达式？本质是找到积分变量与求解变量之间的微分表达式。

3. 确定积分上下限

定积分的上下限和物理过程中的边界条件有关系，有时候物理问题中明确已知边界条件，有时候则需要自己根据已知条件、或者物理过程的限制进行确定。不定积分根据边界条件确定常数。

4. 积分计算结果

纯数学计算，掌握常见函数积分和常规方法即可，复杂可以对应查积分表。

四、不同模块的实例来学习微积分的应用

运动学篇：

两边积分就可以求出x关于t的方程，利用t=0时，x=0的边值条件确定常数C。对x（t）求一次导得到速度与时间的关系式；求二次导得到加速度与时间的关系。

解：以地面为参考系，以导弹发射点为原点，导弹与飞行物初始位置连线方向为x方向，如图建立直角坐标系。我们任取轨迹上一点A（x，y），则有：

这部分主要是在寻找dx和dy之间的关系，建立微分表达式，本例题几乎涵盖了常见的使用方法；有人质疑①式不是已经有dx和dy之间的关系式，但是三角函数不是已知量，且θ是随x，y变化的量不能直接积分。

微分方程积分求解过程如下（积分二次微分方程）：

所以导弹的轨迹方程为：

（未完待续.....）

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