陶哲轩数学难题解决了吗（在8岁时测试天赋的25道数学题与十个鉴定结论首次曝光）

在中国，哪个学校肯收陶哲轩？

这是当代中国数学教育三座学术高峰之一的张奠宙教授曾经发布的一篇文章，在文章里这样写道："陶哲轩是2006年的菲尔兹奖获得者，是当今数学界公认的天才之一，在他5岁生日过后，就迈进了离家2英里外的一所公立学校，这所小学的校长答应给陶哲轩提供灵活的教育方案，刚进校时，他和二年级孩子一起学习大多数课程，数学课则与5年级孩子一起上，

7岁时，陶哲轩开始自学微积分，当时校长觉得小学数学课程已经无法满足陶哲轩，就成功地说服了附近一所中学的校长，让他每天去中学听一两堂数学课，1985年初，10岁生日前几个月，他有三分之一的时间在弗林德斯大学度过，修大学二年级的数学，一年级的物理，余下时间在高中学12年级的化学、11年级的地理和拉丁文、10年级的法语、9年级的英语和社会学，墨尔本大学卓越数学教育国际中心主任Garth Caudry教授每周三的下午都和他会面，讨论数学问题"，

在文章中，张奠宙教授如上介绍了陶哲轩接受基础教育的历程，并提出了其父亲陶象国的问题："在国外，我们做家长的可以和学校协商培养方案，哲轩7岁开始在中学修课，在中国哪个学校肯收他？"，而下面这篇文章不仅介绍了著名数学超常儿童评估专家克莱门茨在陶哲轩7岁-8岁之间对其所进行的三次观察、测试后的评估报告，并且在最后，也告诉了所有人一个答案，

在中国，这所学校肯收也敢收陶哲轩！

1983年4月27日，一篇名为《陶哲轩、7岁、出色的高中生》的报道让克莱门茨首次知道了这个名字，在报道里说，陶哲轩花五分之二的时间在高中学习11年级的数学和物理，其余时间在小学学习，他生于1975年，2岁开始学读写，7岁时已有了16岁学生的学业能力，而且学得轻松，理解透彻，与班上同学相处得很好，

他总是比别的学生提前二节课完成所有的数学作业，他的爱好包括计算、玩电子设备、看科幻小说，他父亲陶象国是医生，出生上海，母亲梁惠兰生于香港，毕业于数理专业，他们1972年从香港移居澳大利亚，还有两个比陶哲轩小的孩子，由于多年来对数学超常儿童的兴趣，克莱门茨细读了这篇报道，并觉得陶哲轩的父母和老师在试图满足他的特别需要方面是足够大胆的，但当时因故没准备去研究他，

1983年6月，在受邀作一个题为"数学特殊才能学生的鉴定"的报告，他提到了关于陶哲轩的报道，讲演后，一位听众向他自我介绍说自己就是陶哲轩的父亲，并邀请他去其家里对陶哲轩的数学能力和行为作出评估，在7月16日，克莱门茨应邀来到其家中，当时，陶哲轩还不满八岁，当走进他家时，他正在房里读一本《微分几何》，闲谈片刻，克莱门茨按通常的超常儿童评估程序对陶哲轩进行了首次评估测试，

让他解澳大利亚教育研究协会（ACER）运算试卷的60个问题，并提醒他一开始不要嘲笑试题容易，因为试题是逐步变难的，陶则十分有趣地回答说："试题又没有耳朵，不会知道我是否笑话它们"，观察他的解答过程，克莱门茨明显看出试题对他太容易了，他完全正确地答对了60道题，按ACER标准，期望12年级学生答对53/60，并且他曾用此卷测过的许多智力优秀的小学生，其中没有一个人得分超过57/60，而陶哲轩还是所测学生中年龄最小的，接着，他又给了陶哲轩出了8个问题，并让其说出每道题的想法，不要求他书面写出，自己作记录，下面是问题和回答：

陶哲轩用9分钟回答了所有问题，他是克莱门茨所测试过的小学生中第一个全部答对的，在陶哲轩解答运算试卷时，他注意到陶常写下适当的代数法则去验证代数步骤，这促使他改变了正常的测试程序，在陶完成上述8个问题后，他们进行了下列谈话（M代表作者，T代表陶哲轩），

M：实数的加法结合律是什么意思？

T：你把括号放在任何地方都没有关系：（a b） .... c等于a ... （b c）

M：交换律是什么意思呢？

T：你可以改换顺序，a×b=b×a，a b=b a

M：群是什么？

T：（回答正确）

M：交换律怎样？

T：在阿贝尔群内成立

M：什么是域？

T：我不知道

M：什么是分配律

T：*对°分配，a*（b°c）等于（a*b）°（a*c）

M：请给我举个例

T：乘法对加法

M：加法对乘法呢？

T：仅在布尔代数中成立

克莱门茨被陶哲轩的回答惊到了，因为他只有7岁，但不仅惊人地掌握了代数定义，而且能自如地运用复杂的数学语言，接着，他又提出如下问题：正方形的边长增加3m，"新"正方形面积比原正方形大39m²，问新正方形边长是多少？

陶哲轩的书面解答见上图，至此，克莱门茨的首次评估测试开始形成初步印象：他喜欢用解析的，非直观的方法，而不太利用直观图象解题，在稍微休息后，他又让陶哲轩书面详细解答如下问题：

陶哲轩对问题2和问题3的解答加深了克莱门茨的看法，他喜欢用解析的，非直观解法策略，在完成这两道题后，作者又给他出了两道较为简单的问题：描出y=x² x的草图，陶立马完成，接着再让他求出拐点坐标，他写道：dy/dx=2x 1，x=-1/2，y=-1/4，（-1/2，-1/4），而这个回答仅仅只花了20秒钟，问题2，描出y=x³-2x² x的图象，他约用了1分钟作出如下图的解答，反映出他对微分的掌握情况.

在离开陶哲轩的家之前，克莱门茨向他的父母询问了其智力发展背景和他们的态度，陶的母亲教过中学科学、物理、化学和数学，她有时会指导陶的数学学习，但帮助不大，因为他不喜欢别人在数学方面告诉他该做什么，他喜欢自学数学，放学后常花3-4小时的时间来阅读数学教科书，

第二次评估是在五个星期后，仍在陶的家里进行，此时他已满八岁，评估开始，克莱门茨让他考虑S=｛a b√2：a、b∈R｝在加法运算下是否构成群，陶立即说道（S， ）是一个群，接着又问他（S， ，×）是否成域，他通过验证予以肯定回答，克莱门茨故意问他关于域的问题，是因为首次评估时他还不知道什么是域，而这次他的回答熟练而简明，已经可以与大学数学专业学生相比，

接着继续测试他对微积分概念和公式的掌握情况，他能说出x²、√x、sinx、sec²x、1/（1 x²）、1/√（1 x²）的导数，但还未学1/x的原函数，在让他求出1/（1-x²）的原函数时，他用代换x=cosθ得出∫dx/（1-x²）=∫-cosecθdθ后就不会做了，提示他用部分分式，但没能帮助他解出来，他对克莱门茨说下几周将学更多的积分内容，接着克莱门茨随手画出了下图，让他求阴影面积，他迅速用积分求出，又问他y=1/x²的图像（x≥1）与x轴所围面积，他亦能正确算得结果为1.

接着让他测试"Monash空间直观测试卷"，他答对27/30，而12年级学生常模平均得分只有24/30，他做错了三题，其中之一如下图1、2所示，如果，图1中的图形放置成图2后，图2中箭头所指的角1和角2原是图1中的什么字母？克莱门茨让陶哲轩说出解决这道题的思路，并作了录音，

他设想旋转二次使图1变为图2那样的位置，并确定了角1为J，但误认为角2为N，他告诉克莱自己对直观问题的转化有困难，在该试中他所犯的另一错误也是由于缺乏对直观图形进行复杂操作的能力，在分析陶上述空间测试答卷表明，他的空间能力发展得特别好，但在解题时，即使需要复杂的思维而又有许多直观方法，他也宁愿使用非直观的分析方法，而不太用需要直观想象的方法，

值得注意的是，伯登（Burden）等人1981年的研究成果指出：宁愿用分析方法而不太用直观方法的学生更善于解空间测试题，克鲁捷茨基则在1976年已指出，空间概念能力和直观抽象数学关系的能力都不是数学才能的必要组成部分，但它们影响个人的数学气质，在陶哲轩解答空间测试卷时，

克莱抄到了他在过去二年准备的22本数学书目，

其中有《矩阵与向量》《数、不等式、线性规划》《国际数学奥林匹克1957-1977》《逻辑基础》《微积分理论和应用》等，他习惯于从头至尾阅读数学书而不是只读几部分，他渴望别人对他应该再读什么书提出建议，陶的父亲告诉克莱门茨，他能惊人地记住自己读过的内容，在几次交谈中，陶哲轩不时打断谈话，和克莱说这是他曾经读过的东西，然后取来一本书，很快找出相关章节给他看，

在完成空间测试题后，克莱又给了他一个关于下述序列的开放性问题，该序列从第二项起每一项是前一项的各位数字的平方和，并让他回答下面四个问题，（1）哪些自然数产生像2和3那样的序列？（2）哪些自然数产生像1和7那样的序列？（3）哪些自然数产生的序列不像1和7产生的序列？（4）其他有趣的方面？并要求他在20分钟之内解答，克莱再次被他的正确解答给惊到了，

下午，克莱又给他出了下面这个问题，其中字母取值为0-9的整数，k=3，求其他字母所代表的数值，并要求他边做边说解法思路，陶很快解出，其解法的明显特点是偏爱于列出和解出关系方程，这又一次显示出他喜欢用分析的、逻辑性强的求解策略.

1983年9月17日，陶的父母再次邀请克莱门茨与弗林德斯大学的达尔森博士一起到他家讨论关于陶哲轩提早进弗林德斯大学的可能性，到家之后，达尔森与陶哲轩几乎谈到了各个数学专题，克莱门茨接着又出了几个问题，让他求出xsinx、e^xcosx、sinx/（sinx cos）的原函数，最后一题他的解法，完全反映出他已熟知ln｜x｜是1/x的原函数，而上一次评估他还不知道，

再让他求（2x-4/x）^10的常数项，他表示二项式定理方面的题做得不多，于是努力构造帕斯卡三角形以求出答案，克莱门茨让他不需要立马给答案，可以等下次再告诉其快速求解的方法，果然，两星期之后，陶哲轩就能根据一般项迅速求出答案，克莱门茨看到他的一本近期数学作业本，本上每页底下写有日期，他发现陶经常一天在家做3页至5页练习，其中有解二阶微分方程、求积分等题目，有一道题反映出他已能熟用"部分分式法"求积分，而在上次测试时他还不知道，

对于陶哲轩肉眼可见的学习速度，克莱门茨再一次被惊到了，而关于陶哲轩将来的学习，他父母决定1984年不再让他去学校学数学，而在家中继续学代数结构、概率统计、计算数学和数学分析等内容，并且在明年，将他送到弗林德斯大学读数学学位课程，达尔森相信，即使陶哲轩在九岁就开始大学生涯，仍将比大多数大学一年级同学的数学好得多，不过还需要给他提供良好的特殊教育，克莱门茨也同意这一论断，并相信如果陶哲轩在今年就进入大学，也不会对大学数学课程感到困难，

在其家中，陶哲轩还提到了他对自己所编的"求完全数"的计算机程序非常满意，该程序于1983年11月由南澳一家学生数学杂志《Trigon》发表，这是他发表的第一篇文章，不过在1980年8月就曾有报道介绍他在一个儿童俱乐部的数学游戏中很快找出了"紧接在序列9182736后面的四个数字"是4554，还值得一提的是，他在1983年11月非正式参加南澳的大学入学数学I考试，这是给12年级学生取得大学入学资格的3小时考试，他不到2个小时答对93%，根据以上对陶哲轩数学才能和兴趣的评估，

克莱门茨得出了以下十个结论：（1）他能惊人地长久记住自己所学过的数学定义、证明和思想（2）尽管他的空间思维能力发展得很好，但他解题时明显（虽然是无意识的）偏于应用语言逻辑思维，而较少用直观思维（3）他对数学专著有良好的理解能力，即使著作中使用了大量复杂的数学术语和符号（4）他特别喜欢分析、代数结构、数论和计算等等科目（5）他不必借助概念的具体模型就能很快掌握抽象的数学概念，

（6）他能对以前未见到的富有挑战性的问题提出解法策略，已能很主动地去探索数学世界的奥秘，他特别喜欢阅读数学史，喜欢寻求所喜爱的一些算法的应用（7）他自学数学的速度很惊人，这也是许多数学超常儿童的特点（8）一旦他发现海洋不知道的数学知识，他就产生兴趣，想方法找到有关书本进行学习（9）某问题一经解出，他便不太愿意检查所做过程，似乎宁愿去做新的事情（10）他用一种容易与别人交流的方式谈论自己的工作，不会洋洋得意，在进行书面解答时，他常常写的恰如其分使别人能看懂.

在《在中国，哪个学校肯收陶哲轩》这篇文章中，

张奠宙教授指出忽视英才教育是中国数学的重大缺失，如果像陶哲轩那样，给予天才学生"特殊"待遇，进行"破格"培养，占据了许多特殊的数学教育资源，在当下的中国就会被质疑为违反教育公平，中小学校长即使爱才心切，也无法突破体制上的约束，爱莫能助，英才的培养决定国家未来杰出人物的成长，由于数学是逻辑严谨、不可跳跃式前进的、积累性的学科，因此培育数学英才需要长期培养和因材施教，

而"百子计划"（全称：百人菁英学子培养计划）就是以上述两点为基本准则，涵盖了小学三年级到高中三年级，集合了数学行业顶尖的师资力量，并且充分借鉴了国家数学理科实验班以及数学强国苏联讨论班和以色列数学英才教育的选拔和培养模式，以一贯式培养体系和千万助学储备金支持，成立不同沙龙分组，每年提供最少一次国际数学活动，旨在为对数学有兴趣，有天赋的学子们免费提供学力支持，为中国培养出属于自己数学英才的计划，

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