极限的基本信息（极限的发展简史）

极限思想中蕴含了非常丰富的辩证法思想. 为人类认识无限提供了强有力的工具. 了解极限概念发展的历程, 对于培养人的思维方法和提高分析问题以及解决问题的能力无疑是有极大帮助的. 数学家拉夫纶捷夫(Lavrentiev, 1900-1980)曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.”，下面我们就来说一说关于极限的基本信息?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!

极限的基本信息

极限思想中蕴含了非常丰富的辩证法思想. 为人类认识无限提供了强有力的工具. 了解极限概念发展的历程, 对于培养人的思维方法和提高分析问题以及解决问题的能力无疑是有极大帮助的. 数学家拉夫纶捷夫(Lavrentiev, 1900-1980)曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.”

极限思想的产生和发展是人们社会实践的产物. 对极限概念的形成人们经历了漫长的认识过程.大体可以分为三个阶段：由远古的萌芽阶段、到中世纪后随着微积分的建立极限思想进一步发展阶段、再到18世纪后微积分的严格化促使极限思想达到完善阶段.

两千多年前可以称作是极限思想的萌芽阶段.其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够系统而清晰的利用极限思想解释现实问题,更不能提出一个抽象和精准的极限概念.极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺、中国古代的惠施(约前370-前310)、刘徽(约225-295)、 祖冲之(429-500)等为代表人物.

我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”这意思就是说，一尺长的竿子，每天从其中截取前一天剩下的一半，竿子的长度越来越接近零，但又永远不会等于零.这个过程从直观上体现了极限思想.公元3世纪,我国魏晋著名数学家刘徽计算圆周率时所创立的“割圆术”则是一种原始的极限思想的应用.刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣. 割圆术就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法. 后来我国南北朝时期杰出的数学家祖冲之再次用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位.这种对于某个值无限接近的思想,就为后来建立极限概念奠定了基础.

在国外, 古希腊的著名哲学家芝诺(Zeno，前334－前262)最先提出了著名的阿基里斯悖论：“阿基里斯(希腊的神学太保，以跑步快而闻名)永远也追不上一只先逃跑的乌龟. 因为乌龟先行了一段距离到达了A点，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要先到达A点. 但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点. 而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟.”这个阿基里斯悖论问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除.

古希腊智人学派的安蒂丰( Antiphon, 约前480—约前410)在讨论化圆为方的问题时也想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积, 而内接正多边形与圆周之间存在的空隙当多边形的边数不断加倍时被逐渐“穷竭”. 这与刘徽极限思想不谋而合. 后来, 希腊数学家欧多克索斯(Eudoxus, 约前400—约前347)提出了“穷竭法”, 著名希腊数学家阿基米德(Archimede, 约前287—约前212) 成功地将“穷竭法”发展到一个高峰, 把这个方法应用于许多面积和体积的计算. “穷竭法”所蕴涵的思想就是近代极限概念的雏形.

总之, 在远古时期, 无论是中国古代还是古希腊数学家们对极限的理解都是比较初步和肤浅的, 形成的极限观念也是十分朴素和直观的. 无论是割圆术还是穷竭法, 都没有摆脱几何形式的束缚.

极限思想的发展阶段大致在16和17世纪. 14世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到15世纪中期，欧洲开始了“文艺复兴”时代.由于生产力的发展，当时，在力学、天文学、物理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究最终推动了科学技术的进步.涌现出了一批杰出的科学家，如哥白尼、伽利略和开普勒(Kepler，1571—1630)等，他们在研究天体问题中需要大量数学方面的知识，这就为微积分的提出有了客观实际的动力，也为极限概念的形成和发展带来了机遇.

16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到了极大的发展.科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等，这些变量问题用初等数学方法是无能为力的，迫切需要数学家们突破以往只研究常量的传统范围，希望他们能够提供新的数学思想和方法，提出用以描述和研究运动变化过程的新工具，正是因为这样的社会背景和需求,极大地促进了极限概念的发展.

进入17世纪后,由于还没有建立极限的准确概念,所以牛顿在在研究物体的运动时，首创了用表示的无穷小且最终趋于零的增量，并且把无穷小增量作为《分析学》的基本概念,从而创立了微积分.但当时牛顿却无法给出无穷小的确切定义.因此在利用无穷小进行运算时,无穷小到底是零还是非零呢？这个问题困扰着牛顿和他同时期的数学家们.数学家们用旧的概念说不清“零”与“非零”的问题,故而极限的本质也没有被触及到.为了克服这个瑕疵, 牛顿创建了一种新方法，叫“首末比方法”,用现代的话说，就是求自变量与因变量变化之比的极限.

牛顿在他的名著《自然哲学的数学原理》中也有等价的表述，量以及量之比，若在很小的时间间隔内相互接近且其差可小于任意给定的正量，则最终相等.这可以说是给出的最早的极限定义.同时莱布尼茨在对曲线的切线、面积和体积等问题的研究过程中，从几何角度提出曲线的切线是纵坐标之差与横坐标之差变成无穷小时的比.但是由于两者都对无穷小量认识不够深刻，导致他们独自创立的微积分理论是不严格的.尽管如此,当时人们还是用微积分解决了很多现实问题，开创了很多新的数学分支.

18世纪时，为了克服无穷小带来的困难, 英国数学家罗宾斯(Robbins, 1707-1751)和法国数学家达朗贝尔(D'Alembert, 1717-1783)等人都先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做出了定义, 其中达朗贝尔给的定义是:“一个变量趋于一个固定量, 趋于程度小于任何给定量, 且变量永远达不到固定量.”这已经非常接近现代极限的概念.可惜的是达朗贝尔没有把它关于极限的定义公式化, 这就使得他的极限概念仍然是描述性的. 但是他所定义的极限已初步摆脱了几何和力学的直观原型. 因此, 达朗贝尔的极限概念被看作是现代严格极限理论的先导.

19世纪是极限概念的完善阶段.法国伟大的数学家柯西(Cauchy, 1789-1857)在《分析教程》中比较完整地揭示了极限概念和极限理论.他认为当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值时,最终使该变量的值和该定值之差越来越小,这个差值小到一定的程度时,这个定值就是所有其它值的极限.同时,柯西还指出零是无穷小的极限.他的这个思想第一次使极限概念摆脱了与物理运动和数学几何直观的任何牵连，给出了建立在实数范畴内用数学语言能准确地表达极限的清楚的定义. 同时也已经摆脱了常量数学的束缚,走向了变量数学.但是，柯西的极限概念也还只是停留在数学的直观的、定性地描述上面，并没有严格的数学定义.

直到19世纪50年代，魏尔斯特拉斯(Weierstrass,1815—1897)在“分析严密化”方面的工作改进了柯西等人的工作，他力求避免直观，运用数学语言，给出了极限概念的精确定义，从而完成了极限概念的严密化工作. 从此，极限理论才得以完善,这也同时为微积分提供了严格的理论基础. 极限思想的进一步发展为微积分的发展和应用开辟了新的道路.