和差倍问题隐藏条件（我不画图行不行）

老师，我不喜欢画图，可不可以不画图？

当然，不画图你能把问题解释的清楚，那老师觉得还好，但是你知道为什么让你们学画图吗？

虽然你们觉得画图比较麻烦，不够快，但是画图能更好的展示你的想法，让听的人能一清二楚。

而且画图也是数学能力的一部分，这个需要通过平时有意识的使用与训练才能做到。

之前你没有从画图中得到画图的好处，所以才会有所抵触。

当然，很多小朋友不喜欢画图，表面上是嫌麻烦不够快，其实大多数是因为画不出来，没有能力把文字转化为图形来表达，也就是表达能力不够。

还有一种小朋友学奥数的套路太多了，体会了套路的快，就觉得画图的慢。

不过，时间久了，或者碰到套路套不了的问题，而且转化起来特别麻烦的问题，画图就显得格外重要了，因为画图是不管是什么套路的题型，大多数都是可以搞定的。

问题来了，想要解决这些问题，就必须学好画图，学好画图就必须付出时间与思考，长期坚持。

告诉你一个好消息，画图画好了，以后学习方程就基本上没问题了，自然就过渡过来了，因为每份线段图都相当于一个x，只不过图形，字母的表现形式不同而已，底层的数量关系是一样的。

我们今天就挑选几道和差倍的题目，从文字到图形，从图形到符号，从符号到字母，一一升级，但是都在表达同一东西都不同形式。

1.​有三块木料，一共长190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块多30米。每块各多少米？

[胡说数学]

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )文字：

第一块 第二块 第三块=190第二块=第一块 20第三块=第二块 30

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )图形：

画图，自然有基本原则，也是为了便于理解与操作。

比如，通过比较先花小一点的量或者先画有倍数关系，且最好先画1倍量。

再比如，用一些小符号也可以标记一些量，便于分析，比较。

还有，我们可以用虚实结合的方式画图，有一定区分，虚线可以表示减掉，或者少了，类似这样。

画图，要左对齐，用尺子画，尽可能准确，一次画不好，可以调整一下再画一次。

诸如此类……，

其实不用太多，两三条规则就差不多了，其他都可以实战中让孩子自己总结适合自己的画图技巧。

言归正传！

根据题意，画图（如下）。

通过比较分析，第一块最小，画一份量。第二块画一份多20米，第三块比第二块多30，也就是比第一块多20 30，一份多50米。

三块一共190，凑成整倍量，需要做什么？

需要把多出来的减掉，也就是：190-20-20-30=120米。

然后，求一份量，120÷3=40米，这个可以理解为第一块40米。

第二块：40 20=60米

第三块：60 30=90米

这一波操作，都是基于图形来思考的，通过观察线段之间的关系，先求1份量。

记好了，想办法找到1份量就是解决倍数问题的核心，想找到1份量，就得找到它对应的总量，就得想办法把小尾巴（多与少）的问题处理好。

图形化，比较，假设，对应，归一，涉及到这些想法，所以对孩子来说是提升数学思维很好的机会与方式。

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )符号：

符号，其实就是低年级学生用圈圈，框框，星星等简单的符号来表示数，快接近用字母表示数了。

这种方式承上启下，不可或缺，前面延续线段图，后面接着用字母表示数。本质上是相通的，每一条线段，每一个符号，每一个字母都可以表示数。

别看这样，孩子从线段图到符号到字母，思维是接二连三在升级，并不是说一个阶段只能有一种思维，他们几乎是同时存在的，只不过每个阶段孩子们学习有个侧重点，理解起来也有不同的差异。

低年级，符号，线段图是标配，高年级字母是标配，孩子思维能力够好，也可以越级挑战，也是可以的。

所以，数学的学习和年龄有关系，其实不绝对，只要思维水平，理解能力够就可以，所以数学天才就是越级挑战，因为思维够强大，培养思维永远是学数学的第一要务，尤其是低年级，小学。

第一块表示一份，用一个“口”表示。

第二块表示一份多20，用“口” 20表示。

第三块则可以表示为，“口” 20 30

根据三块的和是190，我们可以知道：

“口” “口” 20 “口” 20 30=190

这个孩子很容易明白，3个“口” 70=190

3个“口”是120，一个“口”=40

第二块：40 20=60米

第三块：60 30=90米

有人会不会觉得就是线段图的一个简化版，是的，就是简化版，理解起来是相通的。

接下来用字母表示，我就直接复制粘贴就行了，把“口”改成字母x就行。

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )字母：

设，第一块表示一份，用一个“x”表示。

第二块表示一份多20，用“x” 20表示。

第三块则可以表示为，“x” 20 30

根据三块的和是190，我们可以知道：

“x” “x” 20 “x” 20 30=190

这个孩子很容易明白，3“x” 70=190

3个“x”是120，一个“x”=40

第二块：40 20=60米

第三块：60 30=90米

看看，是不是复制粘贴再修改一下，就把线段图，符号，字母统一起来了，所以从低年级到高年级什么变了？什么没变？变得是形式或者对孩子抽象思维的要求，不变的还是那个问题，还是同样的数量关系。

我们升级一下难度，怎么思考文字，画图，符号，字母这四种表达。

接下来不再废话太多，简单干脆一点，相信通过上面那个题目，孩子们已经明白我的意思了，就领着大家练习几道题。

2.甲，乙，丙三个数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2。求这三个数。

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )文字：

甲 乙 丙=78

甲=乙×2 4

乙=丙×3-2

直接翻译，提取有效信息，把数学关系表达清楚就可以。

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )图形：

通过比较，先画丙，一份量。然后画乙是两份少2，甲画的时候要小心了，一定把那个少2也一起画下来，用虚线表示。

甲是乙的2倍多4，也就是把乙的图画2遍然后再画4就行了（如图）。

接下来，凑倍，乙这边少2，假设乙加上2就变成3份，甲少2，再少2，又多4，那就相当于把多4补给两个少2，也就是甲是6份。

78 2=80，对应1 3 6=10份，一份是8。

丙：8

乙：8×3-2=22

甲：22×2 4=48

这样思考问题，有意思，这样画图才更清晰，当然最好用尺子画，画的有点不准确也没关系，不影响数量关系就行，但是画的连自己都不相信，那就再调整一下画一遍。

为了让自己画之后更醒目，可以用一些符号标记，比如一份量可以标记知道小三角。

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )符号：

丙为“口”。

乙为“口” “口” “口”-2=3ד口”-2

丙为为：

3ד口”-2 3ד口”-2 4=6ד口

根据关系可知：

“口” 3ד口”-2 6ד口”=78

10ד口”-2=78

10ד口”=80

“口”=8

丙：8

乙：8×3-2=22

甲：22×2 4=48

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )字母：

设丙为x。

乙为3x-2

丙为为：2（3x-2） 4=6x

根据关系可知：

x 3x-2 6x=78

10x-2=78

10x=80

x=8

丙：8

乙：8×3-2=22

甲：22×2 4=48

文字，图形，符号，字母一条龙，孩子们如果能接受并领悟，想必学数学会轻松开心。

好的，接下来这个问题，很多孩子画图就难了，接下来认真理解画图小技巧，其实我教大家的画图方法和未来学习方程的思路是一致的，大家细心品味！

4.有甲乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍，若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船是乙船货物的2倍。甲船原来货物多少吨？

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )文字：

原来甲=原来乙×3

原来甲 1200=（原来乙 900）×2

这个关系，写出来有讲究的，题目中甲乙的量都发生了改变，所以我们只能以其中一个为主，也就是用原来的量切入，根据原来与现在的关系写出等量关系。

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )图形：

原来乙是1份，后来增加900吨，是一份 900吨。

甲原来是3份，后来增加1200吨，是3份 1200吨。

通过比较可知，甲后来的3份 1200吨，等于乙后来的1份多900吨的2倍，也就是2份多1800吨。

可以知道，3份 1200吨=2份 1800吨

从图片可以把相同份数2份去掉（可以图片划掉），剩下就是：1份 1200吨=1800吨，一份就是600吨。

原来甲是3份，货物质量3×600=1800吨。

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )符号：

设原来的乙为“口”，现在的乙“口” 900

则原来的甲为3“口”，现在甲为3“口” 1200

根据现在的甲是乙现在2倍，可知：

3“口” 1200=2×（“口” 900）

3“口” 1200=2“口” 1800

“口” 1200=1800

“口”=600吨

原来的甲为3“口”，也就是3×600=1800吨。

( ᵒ̴̶̷̤໐ᵒ̴̶̷̤ )字母：

设原来的乙为x，现在的乙为x 900

则原来的甲为3x，现在甲为3x 1200

根据现在的甲是乙现在2倍，可知：

3x 1200=2（x 900）

3x 1200=2x 1800

x 1200=1800

x=600

原来的甲为3×600=1800吨。

试一试：

小新家有两个书架，大书架的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架取50本放在小书架，那么大书架的书是小书架的2倍。大小书架原来各多少？

文字：

图形：

符号：

字母：

孩子们不妨试一试，也可以给我留言或者私聊！

很多孩子第一次学习和差倍这些题目的时候，很多老师就侧重于总结公式与套路，看起来刚开始学起来又快又方便，久了，必成隐患。

刚开始学，应该落在分析条件与问题，用不同的方式，比如画图，列表，假设等思路分分析问题，解决问题，不要给孩子总结套路，以训练孩子数学能力为第一位。

哪怕孩子学不会，也不要总结套路，套路会让孩子套死，不思考，总想着来个套一下，套不了就觉得难，也不想办法，这不是学数学的方式。

长远看，这些公式也没啥用，符合套路的题目也就是一点点，等孩子学了方程，就连线段图也没必要了。

当然，倒不是说方程要提前学，而是什么时候做什么事，刚开始学和差倍就得以分析为核心，画图，列表，符号化为工具。

等孩子大点，第二次学习的时候可以用方程，也可以学公式学套路，让做题快点，为啥大了可以学，因为孩子已经学会画图，列表，方程这些方法了。

一是，他不一定会用套路，因为其他理解型的方法已经会了。

二是，他用也没关系，因为此时此刻的公式他是理解的，而且是建立在其他方法自己就能推出来公式。

三是，面临高年级考试，考试之上，用用挺好，快，节约时间啊！

低年级学习，应该反过来，不为考试，只为理解为主，慢一点，想清楚是为未来积攒力量的好方式。

家长们，你家孩子如果学奥数，几点建议：

一，选择什么时候，什么方式，什么人教，教什么，怎么教？很重要，没想好，就不要开始。

二，低年级学奥数的孩子，要以理解，反复，少而精，不同方式去理解，不需要多，也不需要全，只需要学的尽可能明白。

三，高年级才学奥数，就需要以降维打击的方式学习，不要再想着学习奥数中的很多模块了，知道一些基本的重要的就行。你就好好学习一下方程，比例这些高级工具，去解决问题，虽然有点干，但是依然能让你短时间达到别人的成绩，不强求，往上走！

四，学奥数，目标很重要，你是为了什么而学，阶段性目标清晰吗？既然学了就要学好，多花时间，把学奥数变成一种习惯，规划学习之列，可以根据孩子能力，习惯，兴趣选择不同的难度，形式，数量，方式去匹配，当然也可以选择不学，学就好好学。

这几条建议，有感而发，根据自己多年教学经验，以及对孩子的认知，写的不够详细，有问题，私聊！

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